奇妙数字（GESP五级202412T1）C++题解

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B4070 [GESP202412 五级] 奇妙数字

题目描述

小杨认为一个数字 $x$ 是奇妙数字当且仅当 $x=p^a$，其中 $p$ 为任意质数且 $a$ 为正整数。例如，$8=2^3$，所以 $8$ 是奇妙的，而 $6$ 不是。

对于一个正整数 $n$，小杨想要构建一个包含 $m$ 个奇妙数字的集合 {x1,x2,⋯,xm}\{x_1,x_2,\cdots,x_m\}{x1​,x2​,⋯,xm​}，使其满足以下条件：

• 集合中不包含相同的数字。
• $x_1\times x_2\times \cdots \times x_m$ 是 $n$ 的因子（即 $x_1,x_2,\cdots ,x_m$ 这 $m$ 个数字的乘积是 $n$ 的因子）。

小杨希望集合包含的奇妙数字尽可能多，请你帮他计算出满足条件的集合最多包含多少个奇妙数字。

输入格式

第一行包含一个正整数 $n$，含义如题面所示。

输出格式

输出一个正整数，代表满足条件的集合最多包含的奇妙数字个数。

输入输出样例 #1

输入 #1

128

输出 #1

3

说明/提示

样例解释

关于本样例，符合题意的一个包含 $3$ 个奇妙数字的集合是 {2,4,8}\{2,4,8\}{2,4,8}。首先，因为 $2=2^1$，$4=2^2$，$8=2^3$，所以 $2,4,8$ 均为奇妙数字。同时，$2\times 4\times 8=64$ 是 $128$ 的的因子。

由于无法找到符合题意且同时包含 $4$ 个奇妙数字的集合，因此本样例的答案为 $3$。

数据范围

对于 $100\%$ 的数据，保证 $2\le n\le 10^{12}$。

子任务编号	得分占比	$n$
$1$	$20\%$	$\le 10$
$2$	$20\%$	$\le 1000$
$3$	$60\%$	$\le 10^{12}$

题目大意

给定一个正整数$n$，求他的质因子个数进行某种操作后的和。

题目分析

因为$x_1\times x_2\times \cdots \times x_m$是$n$的因数，所以$x$中的每一项都是$n$的因数。
对于一个奇妙数字$a=p^b$，他的所有因数都应该能写成$p^c$的形式且$1\le b\le c$。
因此任何奇妙数字的非$1$因数都是奇妙数字。
现在要构造集合$x$，我们尽可能让$n$的质因数分解式中同一个底数的指数能拆出多点的不同正整数之和。

等差数列求和

一个指数$a$（底数为$p$）要拆成尽可能小的不同正整数，那么我们先从$p^1$、$p^2$开始，如果指数之和不超过$a$，就可以继续添加元素。
那么快速求分解成多少个数的方法是什么呢？可以用等差数列求和公式。
指数$a$，枚举$i$从$1$到无穷大，循环退出条件是$i\times (i+1)>a$，这期间最大的合法进入循环体内的$i$就是以$p$为底，集合$x$中的数的数量就是$i$的最大值。

举个栗子

就看样例$128$。
首先对样例进行因数分解，得$2^7$。
对于底数$2$，他的指数$7$中最多加出来$1+2+3=6$，而$1+2+3+4=10$超过$7$不合法。
$1\sim 3$一共是$3$个数，那么$2$为底的集合中元素为$3$。
$128$没有其他的质因子，因此输出$3$，样例成功跟着我们的思想走了。

求指数分成多少个数的c++代码

如果穷举变量i在for外声明，可以减少一个cnt的空间。
for里面可以什么也不干，如果想劳动可以用二分

int getnum(int point) //普通版
{int i=1;for(;i*(i+1)/2<=point;i++); //for循环里啥也不用干return i-1; //i是不合法的，i-1才合法
}
int binaryGetnum(int point) //二分版
{int l=1,r=point;while(l<r){int mid=(l+r+1)/2; //防止TLEif(mid*(mid+1)/2<=point)l=mid; //合法不能+1else r=mid-1; //不合法必须-1}return l;
}

如果是普通版，时间为$O(\sqrt{point})$；
如果是二分版，时间为$O(\log point)$。
温馨提示，$\log$要比\sqrt{}​快得多。
当然怕小伙伴们看不懂二分，我在完整代码里就用上面的函数。
没什么问题了吧？讲的很详细了吧？看代码吧！

AC完整代码

二分被注释掉了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int getnum(int point) //普通版
{int i=1;for(;i*(i+1)/2<=point;i++); //for循环里啥也不用干return i-1; //i是不合法的，i-1才合法
}
/*
int binaryGetnum(int point) //二分版
{int l=1,r=point;while(l<r){int mid=(l+r+1)/2; //防止TLEif(mid*(mid+1)/2<=point)l=mid; //合法不能+1else r=mid-1; //不合法必须-1}return l;
}
*/
int main()
{long long n,ans=0;cin>>n; //输入for(long long i=2;i*i<=n;i++) //穷举质因子{if(n%i==0) //如果是质因子，则除掉{int cnt=0; //统计pointwhile(n%i==0)n/=i,cnt++; //除掉并计数ans+=getnum(cnt); //二分则改成ans+=binaryGetnum(cnt);}}if(n>1)ans++; //很多人不注意的地方cout<<ans<<endl; //输出return 0; //坏习惯不养成
}

当然用二分也行。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*
int getnum(int point) //普通版
{int i=1;for(;i*(i+1)/2<=point;i++); //for循环里啥也不用干return i-1;
}
*/
int binaryGetnum(int point) //二分版
{int l=1,r=point;while(l<r){int mid=(l+r+1)/2; //防止TLEif(mid*(mid+1)/2<=point)l=mid; //合法不能+1else r=mid-1; //不合法必须-1}return l;
}
int main()
{long long n,ans=0;cin>>n; //输入for(long long i=2;i*i<=n;i++) //穷举质因子{if(n%i==0) //如果是质因子，则除掉{int cnt=0; //统计pointwhile(n%i==0)n/=i,cnt++; //除掉并计数ans+=binaryGetnum(cnt); //二分则改成ans+=binaryGetnum(cnt);}}if(n>1)ans++;cout<<ans<<endl; //输出return 0; //坏习惯不养成
}

（这是作者第一次二分一把成，点个赞吧）

复杂度分析

空间复杂度不用说了，指定$O(1)$。

时间复杂度

外重循环：$O(\sqrt{n})$
内重循环1 除掉并计数：$O(\log n)$
内重循环2 getnum普通版：$O(\sqrt{\log n})$
getnum二分版：$O(\log \log n)$
可以看到内重循环2不超过内重循环1，可以不看。
总时间复杂度：$O(\sqrt{n}\log n)$

总结

此题不难，只要理解题意，进行简单的分析就能AC。