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目标速度估计中MLE和CRLB运用（二）

news 2025/9/25 14:55:59

目标速度 $v$ 与回波多普勒频率 $\Delta f$ 呈正相关，而回波多普勒频率 $\Delta f$ 实际是接收回波频率 $F$ 与发射频率 ${F_0}$ 的差值，即 $\Delta f = F - {F_0}$ 。由于雷达发射频率 ${F_0}$ 是已知的，因此对接收回波频率 $F$ 的估计性能即等效于对多普勒频率 $\Delta f$ 的估计性能。

考虑在加性高斯白噪声 $w\left[ n \right]$ 条件下，以采样率 $f_s$ 对用正弦信号探测的雷达信号进行采样，可知雷达回波信号可表示为：

$\begin{array}{l} x\left[ n \right] = s\left[ n \right] + w\left[ n \right]\\ {\rm{ }} = A\exp \left[ {j\left( {2\pi Fn + \phi } \right)} \right] + w\left[ n \right] \end{array}$

（1）

若对该回波信号的观测值为 ${\bf{x}} = \left\{ {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}} \right\}$ ，可知观测值 ${\bf{x}}$ 的概率密度函数为：

$p\left( {{\bf{x}}/A,\phi ,F} \right) = \frac{1}{{{{\left( {\pi \sigma _w^2} \right)}^N}}}\exp \left[ { - \frac{1}{{\sigma _w^2}}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\left| {x\left[ n \right] - A\exp \left[ {j\left( {2\pi Fn + \phi } \right)} \right]} \right|}^2}} } \right]$

（2）

根据《https://blog.csdn.net/m0_37751247/article/details/150957272?spm=1001.2014.3001.5501》的内容可知，关于 $A,\phi ,F$ 三个参数的最大似然函数可表示为：

$l\left( {A,\phi ,F/{\bf{x}}} \right) = \frac{1}{{{{\left( {\pi \sigma _w^2} \right)}^N}}}\exp \left[ { - \frac{1}{{\sigma _w^2}}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\left| {x\left[ n \right] - A\exp \left[ {j\left( {2\pi Fn + \phi } \right)} \right]} \right|}^2}} } \right]$

（3）

由于是对频率 $F$ 的估计，因此为了方便计算可对式（3）中的 $A,\phi$ 两个参数进行合并，即令 $\tilde A = A\exp \left( {j\phi } \right) = A\cos \phi + jA\sin \phi = {\tilde A_R} + j{\tilde A_I}$ ，则公式（3）可写成：

$l\left( {\tilde A,F/{\bf{x}}} \right) = \frac{1}{{{{\left( {\pi \sigma _w^2} \right)}^N}}}\exp \left[ { - \frac{1}{{\sigma _w^2}}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\left| {x\left[ n \right] - \tilde A\exp \left( {j2\pi Fn} \right)} \right|}^2}} } \right]$

（4）

通过公式（4）可以看出，若想最大似然函数 $l\left( {\tilde A,F/{\bf{x}}} \right)$ 取得最大值，则 $g\left( {\tilde A,F/{\bf{x}}} \right) = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\left| {x\left[ n \right] - \tilde A\exp \left( {j2\pi Fn} \right)} \right|}^2}}$ 即要取得最小值，即：

$\mathop {\arg \max }\limits_{\tilde A,F} l\left( {\tilde A,F/{\bf{x}}} \right) = \mathop {\arg \min }\limits_{\tilde A,F} g\left( {\tilde A,F/{\bf{x}}} \right)$

（5）

在这里目标是求对频率 $F$ 的最大似然估计（MLE） $\hat F$ ，先对参数 $\tilde A$ 进行最大似然估计（MLE）。让 $g\left( {\tilde A,F/{\bf{x}}} \right)$ 分别对 ${\tilde A_R}$ 和 ${\tilde A_I}$ 求偏导，对 ${\tilde A_R}$ 求偏导可得：

$\begin{array}{l} \frac{{\partial g}}{{\partial {{\tilde A}_R}}}\\ = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\frac{\partial }{{\partial {{\tilde A}_R}}}} \left\{ \begin{array}{l} \left[ {x\left[ n \right] - \left( {{{\tilde A}_R} + j{{\tilde A}_I}} \right)\exp \left( {j2\pi Fn} \right)} \right] \cdot \\ \left[ {{x^*}\left[ n \right] - \left( {{{\tilde A}_R} - j{{\tilde A}_I}} \right)\exp \left( { - j2\pi Fn} \right)} \right] \end{array} \right\}\\ = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\left\{ \begin{array}{l} \left[ {x\left[ n \right] - \left( {{{\tilde A}_R} + j{{\tilde A}_I}} \right)\exp \left( {j2\pi Fn} \right)} \right] \cdot \left[ { - \exp \left( { - j2\pi Fn} \right)} \right] + \\ \left[ { - \exp \left( {j2\pi Fn} \right)} \right] \cdot \left[ {{x^*}\left[ n \right] - \left( {{{\tilde A}_R} - j{{\tilde A}_I}} \right)\exp \left( { - j2\pi Fn} \right)} \right] \end{array} \right\}} \end{array}$

（6）

令公式（6）等于0，则有 $\frac{{\partial g}}{{\partial {{\tilde A}_R}}} = 0$ 、必然有 ${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {\frac{{\partial g}}{{\partial {{\tilde A}_R}}}} \right\} = 0$ ，即：

$\begin{array}{l} {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {\frac{{\partial g}}{{\partial {{\tilde A}_R}}}} \right\}\\ = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\left\{ \begin{array}{l} \left[ {x\left[ n \right] - \left( {{{\tilde A}_R} + j{{\tilde A}_I}} \right)\exp \left( {j2\pi Fn} \right)} \right] \cdot \left[ { - \exp \left( { - j2\pi Fn} \right)} \right] + \\ \left[ { - \exp \left( {j2\pi Fn} \right)} \right] \cdot \left[ {{x^*}\left[ n \right] - \left( {{{\tilde A}_R} - j{{\tilde A}_I}} \right)\exp \left( { - j2\pi Fn} \right)} \right] \end{array} \right\}} \\ = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\left\{ {\left[ {{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ { - x\left[ n \right]\exp \left( { - j2\pi Fn} \right)} \right\} + {{\tilde A}_R}} \right] + \left[ {{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ { - x\left[ n \right]\exp \left( {j2\pi Fn} \right)} \right\} + {{\tilde A}_R}} \right]} \right\}} \\ = 2\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\left\{ {\left[ { - {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {x\left[ n \right]\exp \left( { - j2\pi Fn} \right)} \right\} + {{\tilde A}_R}} \right]} \right\}} = 0\\ \Rightarrow {{\hat \tilde A}_R} = \frac{1}{N}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]\exp \left( { - j2\pi Fn} \right)} } \right\} \end{array}$

（7）

同理，让 $g\left( {\tilde A,F/{\bf{x}}} \right)$ 对 ${\tilde A_I}$ 求偏导并令导数等于0可得：

${\hat \tilde A_I} = \frac{1}{N}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left\{ {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]\exp \left( { - j2\pi Fn} \right)} } \right\}$

（8）

所以根据 $\tilde A = {\tilde A_R} + j{\tilde A_I}$ 可知：

$\hat \tilde A = \frac{1}{N}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]\exp \left( { - j2\pi Fn} \right)}$

（9）

观察公式（9）可知，若 $F$ 已知，则 $\tilde A$ 的最大似然估计（MLE）就是观测值 ${\bf{x}}$ 的离散傅里叶变换在 $F$ 处的值。

进而对频率 $F$ 进行最大似然估计（MLE），同样对于 $g\left( {\tilde A,F/{\bf{x}}} \right)$ 有：

$\begin{array}{l} g\left( {\tilde A,F/{\bf{x}}} \right)\\ = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\left| {x\left[ n \right] - \tilde A\exp \left( {j2\pi Fn} \right)} \right|}^2}} \\ = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\left[ {x\left[ n \right] - \tilde A\exp \left( {j2\pi Fn} \right)} \right]\left[ {{x^*}\left[ n \right] - {{\tilde A}^*}\exp \left( { - j2\pi Fn} \right)} \right]} \\ = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\left| {x\left[ n \right]} \right|}^2}} - {{\tilde A}^*}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]} \exp \left( { - j2\pi Fn} \right)\\ {\rm{ }} - \tilde A\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{x^*}\left[ n \right]} \exp \left( {j2\pi Fn} \right) + \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\left| {\tilde A} \right|}^2}} \\ = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\left| {x\left[ n \right]} \right|}^2}} - 2{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {{{\tilde A}^*}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]} \exp \left( { - j2\pi Fn} \right)} \right\} + \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\left| {\tilde A} \right|}^2}} \end{array}$

（10）

将公式（9）代入公式（10）中可得：

$\begin{array}{l} g\left( {\tilde A,F/{\bf{x}}} \right)\\ = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\left| {x\left[ n \right]} \right|}^2}} - 2{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {{{\tilde A}^*}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]} \exp \left( { - j2\pi Fn} \right)} \right\} + \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\left| {\tilde A} \right|}^2}} \\ = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\left| {x\left[ n \right]} \right|}^2}} \\ {\rm{ }} - 2{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {\frac{1}{N}{{\left\{ {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]} \exp \left( { - j2\pi Fn} \right)} \right\}}^*} \cdot \left\{ {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]} \exp \left( { - j2\pi Fn} \right)} \right\}} \right\}\\ {\rm{ }} + {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\left| {\frac{1}{N}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]} \exp \left( { - j2\pi Fn} \right)} \right|} ^2}\\ = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\left| {x\left[ n \right]} \right|}^2}} - 2 \cdot \frac{1}{N}{\left| {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]} \exp \left( { - j2\pi Fn} \right)} \right|^2} + \frac{1}{N}{\left| {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]} \exp \left( { - j2\pi Fn} \right)} \right|^2}\\ = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\left| {x\left[ n \right]} \right|}^2}} - \frac{1}{N}{\left| {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]} \exp \left( { - j2\pi Fn} \right)} \right|^2} \end{array}$

（11）

从公式（9）可以看出：

$\mathop {\arg \min }\limits_{\tilde A,F} g\left( {\tilde A,F/{\bf{x}}} \right) = \mathop {\arg \max }\limits_F \frac{1}{N}{\left| {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]} \exp \left( { - j2\pi Fn} \right)} \right|^2}$