求解四阶泛函 u‘‘‘‘ - u‘‘ + f = 0 的驻点及周期性边界条件

题目

问题 16. 写出泛函
$$\Phi (u)={\int }_0^1\left((u^{\prime \prime }{)}^2+(u^{\prime }{)}^2+2f(x)u\right)dx-u(1{)}^2$$
的驻点所满足的方程和边界条件，其中边界条件为
$$u(0)=u(1),u^{\prime }(0)=u^{\prime }(1).$$

解答

泛函 $$\Phi (u)$$ 的驻点满足欧拉-拉格朗日方程和相应的边界条件。以下是推导结果。

1. 欧拉-拉格朗日方程

泛函的被积函数为 $$L(x,u,u^{\prime },u^{\prime \prime })=(u^{\prime \prime }{)}^2+(u^{\prime }{)}^2+2f(x)u$$。欧拉-拉格朗日方程对于依赖二阶导数的泛函为：
$$\frac{\partial L}{\partial u}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial u^{\prime }}+\frac{d^2}{d{x}^2}\frac{\partial L}{\partial u^{\prime \prime }}=0.$$
计算各项：

• $$\frac{\partial L}{\partial u}=2f(x)$$,
• $$\frac{\partial L}{\partial u^{\prime }}=2u^{\prime }$$,
• $$\frac{\partial L}{\partial u^{\prime \prime }}=2u^{\prime \prime }$$,
• $$\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial u^{\prime }}=2u^{\prime \prime }$$,
• $$\frac{d^2}{d{x}^2}\frac{\partial L}{\partial u^{\prime \prime }}=2u^{(4)}$$.

代入方程：
$$2f(x)-2u^{\prime \prime }+2u^{(4)}=0.$$
除以 2，得到：
$$u^{(4)}-u^{\prime \prime }+f(x)=0.$$
因此，驻点满足的微分方程为：
$$\boxed{u^{\prime \prime \prime \prime }-u^{\prime \prime }+f=0}$$

2. 边界条件

给定的边界条件为：
$$u(0)=u(1),u^{\prime }(0)=u^{\prime }(1).$$
此外，从泛函的变分原理（考虑边界项 $$-u(1{)}^2$$）可导出自然边界条件。变分要求边界项为零，结合给定的周期性条件，得到额外边界条件：

• $$u^{\prime \prime }(0)=u^{\prime \prime }(1)$$,
• $$u^{\prime \prime \prime }(0)-u^{\prime \prime \prime }(1)=u(1)$$（由于 $$u(1)=u(0)$$，也可写为 $$u^{\prime \prime \prime }(0)-u^{\prime \prime \prime }(1)=u(0)$$）。

因此，所有边界条件为：
$$\begin{gathered} \boxed{u(0)=u(1)} \\ \boxed{u^{\prime }(0)=u^{\prime }(1)} \\ \boxed{u^{\prime \prime }(0)=u^{\prime \prime }(1)} \\ \boxed{u^{\prime \prime \prime }(0)-u^{\prime \prime \prime }(1)=u(1)} \end{gathered}$$

结论

驻点满足方程 $$u^{\prime \prime \prime \prime }-u^{\prime \prime }+f=0$$ 和上述四个边界条件。