算法题（215）：奶牛飞盘

审题：
本题需要我们在1~n头奶牛中选取任意头奶牛参加飞盘比赛，要求在所有奶牛的总能力值是F的倍数的情况下找到所有可能的方案，并输出方案数

思路：

方法一：暴力动态规划

我们可以将f[i][j]表示为从1~n范围的奶牛中选择，然后总能力值为j的所有方案数

然后for循环遍历第n行的所有数据，若i%F==0就进行max维护，最后输出最大的结果即可

空间复杂度：由于方案数需要取模1e8，说明方案大于等于1e8，而我们的j表示方案数，我们不能申请1e8*2e3的空间

时间复杂度：我们填表的时候需要用双层for循环，所以需要循环2e3*1e8次，同样远超1e7~8的界限

方法二：优化后动态规划

（1）状态表示：f[i][j] 表示从前 i头奶牛中选若干头，使得总能力值模 F 等于 j 的方案数

由于我们并不关心能力值总和具体是多少，仅关心其取模F的值是否为0，所以我们的第二维可以改为总能力值取模F，从而将时间复杂度和空间复杂度降低为2e3*1e3

（2）状态转移方程：

我们可以将其分为两大类情况

情况1：不选择i

此时我们只需要从1~i-1的范围内进行奶牛选择，然后找能力总值取模F为j的f值即可

情况2：选择i

还是从1~i-1的范围寻找，不过由于我们选择了第i个位置的奶牛，所以i之前所需的总能力值发生了变化

我们需要求出 i之前的能力值%F的值

根据加法取模有：(a+b)%c = a%c + b%c

总能力值%F =（i之前的总能力值+i能力值）%F = i之前的能力值%F(所求） + i能力值%F = j

故所求 = j - a[i]%F

但是由于j - a[i]%F可能是负数，而在这里负数也是有实际含义的，因为负数可以转换为一个合法的同余正数，而这个正数是在合法范围内的

我们对负数取模采用模加模的方法

即：((j - a[i] % F) % F + F) % F

（3）初始化：

我们将f数组的（0,0）位置初始化为1，表示没有奶牛可选且要求能力值取模F等与0，此时只有一种方案就是什么都不干，此时后续的dp迭代才可以进行下去，否则会全为0。

第一行的其他位置都初始化为0即可，因为他们都是不可能存在的非法情况

（4）填表顺序：
由于我们的状态转移方程都是根据上一行的数据进行的，所以我们只要满足行是从上到下进行即可

（5）答案输出：
f[n][0]表示在所有奶牛的范围内进行寻找，保证取模F后的余数是0的所有方案，这就是题目所求。

需要注意的是我们还要减一，因为题目中说了奶牛选择量在1~n之间，不能为0。而我们将不选奶牛通过初始化当成了一种情况，为了减去这种情况，我们需要减一

即输出：f[n][0]-1

（6）空间优化：
本题无法进行只用一行数组的空间优化，根据我们的转移方程选i的情况，我们依赖的可能是上一行的所有数据（由于负数取模的情况，不清楚算出来的列到底是大于还是小于j），所以不能只保留一行数组

解题：
 

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 2e3 + 10, MOD = 1e8;
int n, F;
int a[N], f[N][N];//f[i][j]表示在1~n的范围内选择奶牛，且能力总值取余F的值为j的情况下所有的方案数（取模1e8）
int main()
{//数据录入cin >> n >> F;for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> a[i];}//初始化f[0][0] = 1;//填表for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 0; j < F; j++){f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i - 1][((j - a[i] % F) % F + F) % F])%MOD;}}cout << f[n][0]-1 << endl;return 0;
}

最后我们还需要对1e8进行取模，所以我们在进行f数组计算的时候顺便要进行取模运算

P2946 [USACO09MAR] Cow Frisbee Team S - 洛谷