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【数据结构与算法Trip第5站】动态规划

news 2025/9/21 12:36:50

动态规划详解（含C++代码实现）

什么是动态规划？

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种解决复杂问题的算法思想，它通过将问题分解为相互重叠的子问题，并存储子问题的解（记忆化）来避免重复计算，从而提高效率。

动态规划的核心思想

最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解
重叠子问题：不同的决策序列会到达相同的子问题
状态转移方程：定义如何从一个状态转移到另一个状态

动态规划的两种实现方式

1. 自顶向下（记忆化递归）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_map>
using namespace std;// 斐波那契数列 - 记忆化递归
unordered_map<int, int> memo;int fib(int n) {if (n <= 1) return n;if (memo.find(n) != memo.end()) return memo[n];memo[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2);return memo[n];
}

2. 自底向上（迭代）

// 斐波那契数列 - 迭代
int fib_iterative(int n) {if (n <= 1) return n;vector<int> dp(n + 1);dp[0] = 0;dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];}return dp[n];
}

经典动态规划问题示例

1. 爬楼梯问题

问题描述：每次可以爬1或2个台阶，爬到n阶有多少种方法？

int climbStairs(int n) {if (n <= 2) return n;vector<int> dp(n + 1);dp[1] = 1;dp[2] = 2;for (int i = 3; i <= n; i++) {dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];}return dp[n];
}// 空间优化版本
int climbStairs_optimized(int n) {if (n <= 2) return n;int prev1 = 1, prev2 = 2;for (int i = 3; i <= n; i++) {int current = prev1 + prev2;prev1 = prev2;prev2 = current;}return prev2;
}

2. 0-1背包问题

问题描述：给定物品的重量和价值，在不超过背包容量的情况下最大化价值。

int knapsack(int W, vector<int>& weights, vector<int>& values) {int n = weights.size();vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(W + 1, 0));for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int w = 1; w <= W; w++) {if (weights[i - 1] <= w) {dp[i][w] = max(dp[i - 1][w],  // 不选当前物品dp[i - 1][w - weights[i - 1]] + values[i - 1]  // 选当前物品);} else {dp[i][w] = dp[i - 1][w];}}}return dp[n][W];
}// 空间优化版本（一维数组）
int knapsack_optimized(int W, vector<int>& weights, vector<int>& values) {int n = weights.size();vector<int> dp(W + 1, 0);for (int i = 0; i < n; i++) {for (int w = W; w >= weights[i]; w--) {dp[w] = max(dp[w], dp[w - weights[i]] + values[i]);}}return dp[W];
}

3. 最长公共子序列（LCS）

问题描述：找出两个序列的最长公共子序列的长度。

int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {int m = text1.length(), n = text2.length();vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;} else {dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);}}}return dp[m][n];
}