单调破题：当指数函数遇上线性方程的奇妙对决

🔍 题目呈现：指数与线性函数的"掰头"

已知 $a+2^a=2$，$b+3^b=2$，则 $a^b$ 与 $b^a$ 的大小关系为（ ）
A. $a^b<b^a$
B. $a^b=b^a$
C. $a^b>b^a$
D. 不确定

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这道题看似表面在求根，实则在考察函数单调性、零点定理以及数形结合的妙用．

看到这种方程组合，老司机秒懂要构造辅助函数：

• 把方程改写成 $f(x)=x+2^x-2=0$ 和 $g(x)=x+3^x-2=0$
• 用零点存在定理给$a,b$牵线，确定它们的取值范围
• 通过单调性分析比较$a^b$和$b^a$的"财富值"

🔢 关键推导：零点定理的调查

第一步：构造 $f(x)=x+2^x-2$，

$f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+2^{1/2}-2\approx 0.5+1.414-2=-0.086<0$
$f(1)=1+2-2=1>0$
导数$f^{\prime }(x)=1+2^x\ln 2>0$（单调递增）

根据零点定理，$\frac{1}{2}<a<1$ ．

第二步：构造 $g(x)=x+3^x-2$，

$g(0)=-1<0$
$g(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+3^{1/2}-2\approx 0.5+1.732-2=0.232>0$
导数$g^{\prime }(x)=1+3^x\ln 3>0$（同样单调递增）

根据零点定理，$0<b<\frac{1}{2}$ ．

⚖️ 终极对决：幂次Battle的降维打击

现在我们知道：
$$0<b<\frac{1}{2}<a<1$$
第一回合：$a^b$ vs $a^a$

由于$0<a<1$，函数$y=a^x$是递减函数
又因为$b<\frac{1}{2}<a$，所以$a^b>a^a$

第二回合：$a^a$ vs $b^a$

函数$y=x^a$在$(0,+\infty )$是递增函数（因为$a>0$）
由$a>b$可得$a^a>b^a$

终审判决：
$$a^b>a^a>b^a\Rightarrow a^b>b^a$$

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当然还可以数形结合
把$2^x=-x+2$和$3^x=-x+2$图像画出来，会发现：

$y=2^x$与直线$y=-x+2$的交点横坐标$a$比$y=3^x$与同一直线的交点横坐标$b$更靠近0
这波啊，是图像法给代数推导"可视化认证"！

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下次遇到函数方程+比大小，记得构造函数+单调性这把"尚方宝剑"哦！