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费马小定理的证明

news 2025/9/20 17:04:33

首先熟悉一下什么是费马小定理:

在a,p互质且p为质数的情况下有 a^{p-1}\equiv 1 (mod p) .

我们只讲一种证明方法,也就是比较朴素的证明法.

首先我们构造序列x. x的元素为1到p-1. 现在我们把每个元素乘上a然后将所有元素相乘,严谨表达如下:

\prod_{i=1}^{p-1} i * a

我们先引入一个概念,即 (a mod p) * (b mod p) ≡ ab (mod p). 现在我们单独考虑每个元素. 对于每个元素(a mod p)是不会变的,因此唯一左右结果的只有那个1 - p-1的数.那么我们考虑什么情况下两个元素的结果会相同. 显然只有这两个元素1 - p-1的那个数相差p的倍数,这样取余时一样.但是我们的序列中只有1 - p-1的数,不可能有两个数的元素相差超过p. 并且由于一共有p-1个数且答案不可能为0,这些元素的结果不论分布一定包含1 - p-1.

把这些数乘起来加到右边结论就出来了.  这里我们先把上式拆开,可见答案为p-1的阶乘加上a的p-1次方.

{a}^{p-1}*(p-1)! \equiv (p-1)! (mod p)

我们两边同时消掉 (p-1)!,得结果

{a}^{p-1} \equiv 1 (mod p)

我们如果要求乘法逆元那么乘法逆元就是a得p-2次方.

http://www.dtcms.com/a/391992.html

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