PINN物理信息神经网络驱动的Burgers偏微分方程求解MATLAB代码

代码实现了一个物理信息神经网络（PINN） 来求解 Burgers 偏微分方程（PDE）。以下是代码的详细分析：

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一、主要功能

使用一个无需标注数据的神经网络（PINN）来求解 Burgers 方程：

$$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\nu }{\pi }\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$

其中 $\nu =0.01$，边界条件为：

• $u(-1,t)=0$
• $u(1,t)=0$
• 初始条件：$u(x,0)=-\sin (\pi x)$

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二、逻辑关联

三个文件的功能如下：

文件名	功能
main.m	主程序：数据生成、网络构建、训练、测试
modelLoss.m	定义损失函数：PDE 残差 + 边界/初始条件误差
solveBurgers.m	提供 Burgers 方程的解析解，用于验证

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三、算法步骤

1. 数据生成

• 边界条件点：左右边界各 25 个时间点
• 初始条件点：50 个空间点
• 内部配置点：10,000 个随机点（用于 PDE 残差约束）

2. 网络结构

• 输入层：2 维（x, t）
• 隐藏层：8 个全连接层，每层 20 个神经元，激活函数为 tanh
• 输出层：1 维（u）

3. 损失函数

• mseF：PDE 残差的均方误差
• mseU：初始和边界条件的 L2 损失
• 总损失：loss = mseF + mseU

4. 训练

• 使用 L-BFGS 优化器
• 最大迭代次数：1500
• 早停条件：梯度或步长范数 < 1e-5

5. 验证

• 在 $(t=0.25,0.5,0.75,1)$ 时刻比较预测值与解析解
• 计算相对误差并绘图展示

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四、技术路线

技术	说明
PINN	将物理方程作为正则项融入损失函数
自动微分	使用 dlgradient 和 dljacobian 计算偏导数
L-BFGS	二阶优化算法，适合小批量高精度问题
双精度训练	提高数值稳定性
dlarray	用于深度学习的高效张量操作

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五、公式原理

Burgers 方程：

$$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=\nu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$

损失函数：

$$\mathcal{L}=\frac{1}{N_F}\sum _{i=1}^{N_F}{\left|f(x_i,t_i)\right|}^2+\frac{1}{N_U}\sum _{j=1}^{N_U}{\left|u(x_j,t_j)-u_j\right|}^2$$

其中：

• $f$ 是 PDE 残差
• $N_F$ 是内部点数
• $N_U$ 是边界/初始点数

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⚙️ 六、参数设定

参数	值	说明
numBoundaryConditionPoints	[25, 25]	左右边界点数
numInitialConditionPoints	50	初始条件点数
numInternalCollocationPoints	10000	内部配置点数
numBlocks	8	隐藏层数
fcOutputSize	20	每层神经元数
maxIterations	1500	最大迭代次数
gradientTolerance	1e-5	梯度容差
stepTolerance	1e-5	步长容差

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七、运行环境

• 软件：MATLAB2024b

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总结

该代码展示了一种无需标注数据的偏微分方程求解方法，通过将物理方程融入神经网络损失函数，实现了对 Burgers 方程的高精度求解。适用于逆问题、数据稀缺场景或复杂边界条件的 PDE 求解任务。

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