(leetcode) 力扣100 13最大子序和(动态规划卡达内算法分治法)

题目

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组是数组中的一个连续部分。

数据范围

1 <= nums.length <= 10⁵
-10⁴ <= nums[i] <= 10⁴

测试用例

示例1

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例2

输入：nums = [1]
输出：1

示例3

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

题解1（博主代码 卡内达）

class Solution {public static int maxSubArray(int[] nums) {int max=Integer.MIN_VALUE;int temp=0;for(int i=0;i<nums.length;i++){temp+=nums[i];max=Math.max(max,temp);if(temp<0) temp=0;}return max;}
}

题解2 （官解 动态规划）

class Solution {public int maxSubArray(int[] nums) {int pre = 0, maxAns = nums[0];for (int x : nums) {pre = Math.max(pre + x, x);maxAns = Math.max(maxAns, pre);}return maxAns;}
}

题解3 （官解 分治）

class Solution {public class Status {public int lSum, rSum, mSum, iSum;public Status(int lSum, int rSum, int mSum, int iSum) {this.lSum = lSum;this.rSum = rSum;this.mSum = mSum;this.iSum = iSum;}}public int maxSubArray(int[] nums) {return getInfo(nums, 0, nums.length - 1).mSum;}public Status getInfo(int[] a, int l, int r) {if (l == r) {return new Status(a[l], a[l], a[l], a[l]);}int m = (l + r) >> 1;Status lSub = getInfo(a, l, m);Status rSub = getInfo(a, m + 1, r);return pushUp(lSub, rSub);}public Status pushUp(Status l, Status r) {int iSum = l.iSum + r.iSum;int lSum = Math.max(l.lSum, l.iSum + r.lSum);int rSum = Math.max(r.rSum, r.iSum + l.rSum);int mSum = Math.max(Math.max(l.mSum, r.mSum), l.rSum + r.lSum);return new Status(lSum, rSum, mSum, iSum);}
}

思路

又是一道经典且简单的处理字符串问题。这道题的目标是找到最大子串，对于这种存在正负找最值的题，我们无法通过滑动窗口来简单进行维护，但还有另一个很好用的方法，就是动态规划，动态规划能够较好的解决这种问题。状态转移方程如下

f(i)=max{f(i−1)+nums[i],nums[i]}

f(i) 代表以第 i 个数结尾的「连续子数组的最大和」，我们需要找的是i从1到n中所有f(i)最大的那个值

状态转移方程也很好理解，如果上一个位置最大和加上当前位置的值更大，则选择以当前位置+上前一位置的最大值为结尾，不然就单独当前位置作为f(i)的值。

虽然动态规划代码简单，但也需要一定的积累。

博主一开始的思路与单调栈有点相似，从数组第一个元素开始相加，如果前i个元素的合是负数，前i个元素就没用，可以舍去，就让temp(维护相邻数之和的变量)为0，然后继续相加，每次都与max作比较，保留最大元素。也能得到正确结果，并且相比于动态规划更节约空间，其实博主最早不知道这种思路是卡达内算法，只是看官解没有我的方法，就去问了下ai，也是长知识了。

最后一种方法分治法，博主看了官解介绍，感觉和归并排序的思路如出一辙，大家懂归并排序就很好理解分治法的思路，或者应该说归并排序的代码就是运用了分治法。具体分治法的讲解就交给官解了。

这个分治方法类似于「线段树求解最长公共上升子序列问题」的 pushUp 操作。 也许读者还没有接触过线段树，没有关系，方法二的内容假设你没有任何线段树的基础。当然，如果读者有兴趣的话，推荐阅读线段树区间合并法解决多次询问的「区间最长连续上升序列问题」和「区间最大子段和问题」，还是非常有趣的。

我们定义一个操作 get(a, l, r) 表示查询 a 序列 [l,r] 区间内的最大子段和，那么最终我们要求的答案就是
get(nums, 0, nums.size() - 1)。如何分治实现这个操作呢？对于一个区间 [l,r]，我们取 m=⌊ 2 l+r
​ ⌋，对区间 [l,m] 和 [m+1,r] 分治求解。当递归逐层深入直到区间长度缩小为 1
的时候，递归「开始回升」。这个时候我们考虑如何通过 [l,m] 区间的信息和 [m+1,r] 区间的信息合并成区间 [l,r]
的信息。最关键的两个问题是：

我们要维护区间的哪些信息呢？ 我们如何合并这些信息呢？ 对于一个区间 [l,r]，我们可以维护四个量：

lSum 表示 [l,r] 内以 l 为左端点的最大子段和 rSum 表示 [l,r] 内以 r 为右端点的最大子段和 mSum 表示
[l,r] 内的最大子段和 iSum 表示 [l,r] 的区间和 以下简称 [l,m] 为 [l,r] 的「左子区间」，[m+1,r] 为
[l,r] 的「右子区间」。我们考虑如何维护这些量呢（如何通过左右子区间的信息合并得到 [l,r] 的信息）？对于长度为 1 的区间
[i,i]，四个量的值都和 nums[i] 相等。对于长度大于 1 的区间：

首先最好维护的是 iSum，区间 [l,r] 的 iSum 就等于「左子区间」的 iSum 加上「右子区间」的 iSum。 对于 [l,r]
的 lSum，存在两种可能，它要么等于「左子区间」的 lSum，要么等于「左子区间」的 iSum 加上「右子区间」的 lSum，二者取大。
对于 [l,r] 的 rSum，同理，它要么等于「右子区间」的 rSum，要么等于「右子区间」的 iSum 加上「左子区间」的
rSum，二者取大。 当计算好上面的三个量之后，就很好计算 [l,r] 的 mSum 了。我们可以考虑 [l,r] 的 mSum
对应的区间是否跨越 m——它可能不跨越 m，也就是说 [l,r] 的 mSum 可能是「左子区间」的 mSum 和 「右子区间」的 mSum
中的一个；它也可能跨越 m，可能是「左子区间」的 rSum 和 「右子区间」的 lSum 求和。三者取大。 这样问题就得到了解决。