【线性代数：从基向量理解线性变换与矩阵】附Python代码

2D线性变换

1. 线性变换的核心思想

线性变换是一种特殊的函数，输入一个向量，输出另一个向量，并且满足两个核心法则：

1. 可加性: f(u + v) = f(u) + f(v)
2. 齐次性: f(cu) = c * f(u)

矩阵则是这种变换在特定坐标系下的计算蓝图。

2. 基向量视角：理解变换的关键

标准坐标系的两个基向量：

• î = [1, 0]ᵀ (x轴单位向量)
• ĵ = [0, 1]ᵀ (y轴单位向量)

一个关键洞察：线性变换完全由它如何变换这两个基向量决定。

任何2D向量 [x, y]ᵀ 都可以表示为基向量的线性组合：v = x * î + y * ĵ。应用线性变换 T 后：

T(v) = T(x * î + y * ĵ) = x * T(î) + y * T(ĵ)

变换后的基向量 T(î) 和 T(ĵ) 并排在一起，就构成了变换矩阵：

A = [ T(î) | T(ĵ) ]

计算方式：T(v) = A * v = [ T(î) | T(ĵ) ] * [x, y]ᵀ = x * T(î) + y * T(ĵ)

3. 常见2D线性变换及其矩阵

3.1 缩放 (Scaling)

import numpy as npdef scaling_matrix(sx, sy):"""创建缩放矩阵sx: x方向缩放因子sy: y方向缩放因子"""return np.array([[sx, 0],[0, sy]])# 示例：x方向放大2倍，y方向缩小0.5倍
S = scaling_matrix(2, 0.5)
print("缩放矩阵:\n", S)# 应用变换
v = np.array([3, 4])  # 原始向量
v_transformed = S.dot(v)
print("变换后向量:", v_transformed)

3.2 旋转 (Rotation)

import mathdef rotation_matrix(theta):"""创建旋转矩阵（逆时针旋转）theta: 旋转角度（弧度）"""cos_t = math.cos(theta)sin_t = math.sin(theta)return np.array([[cos_t, -sin_t],[sin_t, cos_t]])# 示例：旋转45度
theta = math.radians(45)  # 转换为弧度
R = rotation_matrix(theta)
print("旋转矩阵:\n", R)# 应用变换
v = np.array([1, 0])  # 原始向量
v_transformed = R.dot(v)
print("变换后向量:", v_transformed)

3.3 剪切 (Shearing)

def shearing_matrix(kx, ky):"""创建剪切矩阵kx: x方向剪切因子ky: y方向剪切因子"""return np.array([[1, kx],[ky, 1]])# 示例：水平剪切
H = shearing_matrix(0.5, 0)
print("剪切矩阵:\n", H)# 应用变换
v = np.array([2, 3])  # 原始向量
v_transformed = H.dot(v)
print("变换后向量:", v_transformed)

3.4 反射 (Reflection)

def reflection_matrix(axis):"""创建反射矩阵axis: 反射轴 ('x', 'y', 或 'xy')"""if axis == 'x':return np.array([[1, 0],[0, -1]])elif axis == 'y':return np.array([[-1, 0],[0, 1]])elif axis == 'xy':  # 关于直线y=x反射return np.array([[0, 1],[1, 0]])else:raise ValueError("不支持的反射轴")# 示例：关于x轴反射
F = reflection_matrix('x')
print("反射矩阵:\n", F)# 应用变换
v = np.array([2, 3])  # 原始向量
v_transformed = F.dot(v)
print("变换后向量:", v_transformed)

4. 组合变换

线性变换的强大之处在于可以组合，通过矩阵乘法实现：

# 组合变换：先旋转45度，再x方向放大2倍
theta = math.radians(45)
R = rotation_matrix(theta)
S = scaling_matrix(2, 1)# 注意顺序：先应用的变换放在右边
M = S.dot(R)  # 先旋转，后缩放
print("组合变换矩阵:\n", M)# 应用组合变换
v = np.array([1, 1])  # 原始向量
v_transformed = M.dot(v)
print("变换后向量:", v_transformed)

5. 平移与齐次坐标

平移不是线性变换，但可以通过齐次坐标实现：

def translation_matrix(tx, ty):"""创建平移矩阵（使用齐次坐标）tx: x方向平移量ty: y方向平移量"""return np.array([[1, 0, tx],[0, 1, ty],[0, 0, 1]])def to_homogeneous(v):"""转换为齐次坐标"""return np.array([v[0], v[1], 1])def from_homogeneous(v_h):"""从齐次坐标转换回普通坐标"""return np.array([v_h[0]/v_h[2], v_h[1]/v_h[2]])# 示例：平移变换
T = translation_matrix(3, 2)
print("平移矩阵:\n", T)# 应用变换（需要先将向量转换为齐次坐标）
v = np.array([1, 1])
v_h = to_homogeneous(v)
v_transformed_h = T.dot(v_h)
v_transformed = from_homogeneous(v_transformed_h)
print("变换后向量:", v_transformed)

6. 几何意义：行列式

变换矩阵的行列式有重要的几何意义：

# 计算各种变换的行列式
S = scaling_matrix(2, 3)  # 缩放矩阵
R = rotation_matrix(math.radians(30))  # 旋转矩阵
H = shearing_matrix(0.5, 0)  # 剪切矩阵print("缩放矩阵行列式:", np.linalg.det(S))  # 面积缩放比例
print("旋转矩阵行列式:", np.linalg.det(R))  # 应为1（保面积）
print("剪切矩阵行列式:", np.linalg.det(H))  # 应为1（保面积）

7. 可视化变换效果

import matplotlib.pyplot as pltdef plot_transformation(original, transformed, title):"""绘制变换前后的向量"""plt.figure(figsize=(10, 5))plt.subplot(1, 2, 1)plt.quiver(0, 0, original[0], original[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='r')plt.xlim(-5, 5)plt.ylim(-5, 5)plt.grid(True)plt.title('原始向量')plt.axhline(y=0, color='k')plt.axvline(x=0, color='k')plt.subplot(1, 2, 2)plt.quiver(0, 0, transformed[0], transformed[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='b')plt.xlim(-5, 5)plt.ylim(-5, 5)plt.grid(True)plt.title(title)plt.axhline(y=0, color='k')plt.axvline(x=0, color='k')plt.tight_layout()plt.show()# 示例：可视化旋转变换
v = np.array([3, 2])
theta = math.radians(60)
R = rotation_matrix(theta)
v_transformed = R.dot(v)plot_transformation(v, v_transformed, '旋转变换后')