小目标检测的尺寸极限

1. 小目标检测的权衡关系

• 不考虑目标识别，小目标检测问题的一个直觉是：目标颜色/灰度值和背景差异越大，检测所需的目标尺寸就越小

  极限情况下（如全黑背景）1x1的亮点也能检测；
  目标颜色/灰度和背景越接近，检测所需的成像尺寸越大（提供足够的轮廓特征）

2. 问题形式化

2.1 量化定义

• 给定图像观测 patch $x\in {\mathbb{R}}^{w\times h\times c}$（类比bbox区域），目标检测本质是一个二元假设检验
  • 假设 $H_0$：观测 $x$ 只来自背景，记作 $x\sim P_0$
  • 假设 $H_1$：观测 $x$ 来自目标+背景，记作 $x\sim P_1$

  $P_0$ 可通过在数据集随机裁剪无目标背景patch构造；$P_1$ 可通过在数据集随机裁剪有目标patch构造

• 目标检测的本质就是 判断 $x$ 来自哪个分布，这个 “可区分度” 可用 KL 散度量化 $D_{\text{KL}}(P_1||P_0)$。若 $D_{\text{KL}}<ϵ$，则在任何检测器下，误检率和漏检率都接近随机猜测

2.2 展开分析

• 把 patch 拉平成长度 $N=w\times h\times c$ 的一维向量 $x\in {\mathbb{R}}^N$。目标成像过程可以写成
  $$x=G(b+t)+n\text{\hspace{1em}(1)}$$ 其中 $b\in {\mathbb{R}}^N$ 是拉平的背景 patch，$t\in {\mathbb{R}}^N$ 是拉平的目标 patch，$G\in {\mathbb{R}}^{N\times N}$ 是线性成像算子，$n\in {\mathbb{R}}^N$ 是过程加性噪声

  Note：为什么成像模型可以假设为线性的，因为辐射传输 + 成像系统的主要环节基本都是线性算子的组合

  1. 光学成像的线性性：光学系统在不考虑强非线性效应（散射饱和、非线性材料）时，满足叠加原理，即 “两个独立辐射源的像强度 = 各自像强度的和”
  2. 电荷/电压形成的线性性：相机传感器（CCD/CMOS/红外探测器）的基本过程：光子 → 电荷 → 电压 → 数字信号，在工作区间内（远未饱和时），入射光能量和输出电压近似线性
  3. 常见噪声模型可线性化：
     • 读出噪声/热噪声：加性高斯
     • 光子噪声（Poisson）：当信号不极弱时，近似为加性高斯，仍可放进“均值+协方差”的框架
     • 量化噪声：可看作均匀分布的加性噪声
     • 大气传输：衰减和模糊通常可视为线性算子（乘法/卷积），非线性散射效应在近似条件下也能线性化处理

• 为便于推导，做以下约定和假设：

  1. 目标 $t$ 在成像后引入的确定性增量记为 $\Delta =Gt\in {\mathbb{R}}^N$，这是一个常数向量
  2. 把背景 $Gb$ 和加性噪声 $n$ 合并为一个多维随机向量，有均值 ${\mu }_b$ 和协方差 $\Sigma$，假设它服从高斯分布

     1. 小目标检测场景中 $w,h$ 是小值，可以假设背景 $b$ 在局部的波动服从高斯分布（忽略海杂波、湍流等杂波主导的背景重尾分布情况），高斯分布经过线性变换后还是高斯分布；
     2. 过程噪音包括传感器噪声、大气扰动等，根据中心极限定理，这些累积的、独立或弱相关的小扰动”在统计上会逼近高斯分布

  因此 $P_0,P_1$ 服从高斯分布，有 $P_0=\mathcal{N}({\mu }_b,\Sigma ),P_1=\mathcal{N}({\mu }_b+\Delta ,\Sigma )$

• 在上述高斯情形下，参考 多维高斯分布的信息熵和KL散度计算，KL 散度为
  $$D_{\text{KL}}(P_1||P_0)=\frac{1}{2}\left[\log \frac{\left|{\Sigma }_0\right|}{\left|{\Sigma }_1\right|}-N+\mathrm{tr}\left({\Sigma }_0^{-1}{\Sigma }_1\right)+{\left({\mu }_0-{\mu }_1\right)}^{\top }{\Sigma }_0^{-1}\left({\mu }_0-{\mu }_1\right)\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$其中 $|\cdot |$ 表示行列式计算。进一步化简，由于两个高斯分布协方差同为 $\Sigma$，维度同为 $N$，有

  • $\log \frac{|{\Sigma }_0|}{|{\Sigma }_1|}=\log 1=0$
  • $\mathrm{tr}\left({\Sigma }_0^{-1}{\Sigma }_1\right)=\mathrm{tr}(I)=N$
  • ${\mu }_0-{\mu }_1=-\Delta$

  KL 散度可以简化为漂亮的形式
  $$D_{\mathrm{KL}}\left(P_1\Vert P_0\right)=\frac{1}{2}(-\Delta {)}^{\top }{\Sigma }^{-1}(-\Delta )=\frac{1}{2}{\Delta }^{\top }{\Sigma }^{-1}\Delta \text{\hspace{1em}(3)}$$得到重要结论：小目标的可检测性由信号向量 $\Delta$（目标辐射+成像过程）与背景+噪声协方差 $\Sigma$ 的 “马氏距离” 决定

• 注意本节分析引入了以下关键假设

  1. 成像模型假是线性的
  2. 背景在局部的波动服从高斯分布
  3. 成像过程噪声服从高斯分布

2.3 直观的简化情况

• 设观测图像共有 $M=w\cdot h$ 个像素，由目标和背景叠加得到；每个像素的观测光谱是 ${\mathbf{x}}_{ij}$，背景光谱是 ${\mathbf{b}}_{ij}$，光谱差向量 ${\mathbf{s}}_{ij}={\mathbf{x}}_{ij}-{\mathbf{b}}_{ij}$；设观测目标导致的亮度增益因子是 $a$

  像素亮度定义为像素光谱向量的模长，即有 $||{\mathbf{x}}_{ij}||=||{\mathbf{b}}_{ij}+a\cdot {\mathbf{s}}_{ij}||$

• 最简单情况下，进一步引入以下假设

  1. 小目标情况下假设目标均匀，每个像素的 ${\mathbf{s}}_{ij}$ 都相同，设为 $\mathbf{s}$
  2. 像素之间是独立的，噪声方差为 ${\sigma }^2$，即背景的协方差矩阵 $\Sigma ={\sigma }^{2}I$。

  这种情况下，每个像素的信号增量为 ${\Delta }_{ij}=a\cdot \Vert {\mathbf{s}}_{ij}\Vert$，目标区域的总信号增量 $\Delta$ 是所有 $M$ 个像素的信号增量的累加。目标区域的总信号增量表示为
  $$\begin{array}{rl}\Vert \Delta {\Vert }^2& =\sum _{i,j}{\Delta }_{ij}^2=\sum _{i,j}(a\cdot \Vert {\mathbf{s}}_{ij}\Vert {)}^2=a^2\sum _{i,j}\Vert {\mathbf{s}}_{ij}{\Vert }^2\\ & =a^2\cdot M\cdot \Vert \mathbf{s}{\Vert }^2\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

• 把 $\Sigma ={\sigma }^{2}I$ 带入式 (3)，由于 ${\Delta }^{\top }I\Delta =\Vert \Delta {\Vert }^2$ 得到
  $$D_{\text{KL}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\Vert \Delta {\Vert }^2}{{\sigma }^2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{a^2\cdot M\cdot \Vert \mathbf{s}{\Vert }^2}{{\sigma }^2}\text{\hspace{1em}(5)}$$

• 假设目标可检测的分布偏差阈值为 $\theta$，目标可检测需满足
  $$\begin{array}{rl}& D_{\text{KL}}\ge \theta \\ \Rightarrow & \frac{1}{2}\cdot \frac{a^2\cdot M\cdot \Vert \mathbf{s}{\Vert }^2}{{\sigma }^2}\ge \theta \\ \Rightarrow & M\ge \frac{2{\sigma }^2\theta }{a^2\Vert \mathbf{s}{\Vert }^2}\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$ 至此我们成功量化了第一节的直觉，此公式说明最小像素数 $M_{\min }$ 如何受到以下因素的影响：

  • 目标的亮度放大因子 $a$：目标亮度 $a$ 越大，所需的最小像素数 $M_{\min }$ 越小。
  • 光谱差异 $\Vert \mathbf{s}\Vert$：每个像素的光谱差异 $\Vert \mathbf{s}\Vert$ 越大，所需的最小像素数 $M_{\min }$ 越小。
  • 噪声方差 ${\sigma }^2$：背景噪声的方差 ${\sigma }^2$ 越大，所需的最小像素数 $M_{\min }$ 越大。

2.4 数值示例

• 设背景噪声标准差 $\sigma =15$，目标亮度增益因子 $a=2$，目标光谱差向量范数 $||\mathbf{s}||=0.3$，检测阈值 $\theta =\ln 2$（1 bit信息）
  $$M_{\text{min}}=\frac{2{\sigma }^2\theta }{a^2\Vert \mathbf{s}{\Vert }^2}\approx 866.43$$
• 设背景噪声标准差 $\sigma =10$，目标亮度增益因子 $a=5$，目标光谱差向量范数 $||\mathbf{s}||=0.5$，检测阈值 $\theta =\ln 2$（1 bit信息）
  $$M_{\text{min}}=\frac{2{\sigma }^2\theta }{a^2\Vert \mathbf{s}{\Vert }^2}\approx 22.18$$
• 设背景噪声标准差 $\sigma =5$，目标亮度增益因子 $a=10$，目标光谱差向量范数 $||\mathbf{s}||=1$，检测阈值 $\theta =\ln 2$（1 bit信息）
  $$M_{\text{min}}=\frac{2{\sigma }^2\theta }{a^2\Vert \mathbf{s}{\Vert }^2}\approx 0.35$$