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【数值分析】02-绪论-误差

news 2025/9/16 9:03:40

参考资料：
书籍：数值分析简明教程/王兵团，张作泉，张平福编著. --北京：清华大学出版社；北京交通大学出版社，2012.8
视频：学堂在线APP中北京交通大学“数值分析I”

前期回顾

【数值分析】01-绪论-重要性、计算机中的数系与运算特点

重要性：

减少计算机科学计算式的错误；
使计算机计算的结果更可信；
计算机解决实际问题四个步骤：数学建模-》选择数值方法-》编写程序-》上机计算

机器数系及运算特点：

机器数系是有限实数集合；
表达式： $f(β,t,L,U)={βc×0.a1a2a3⋯at∣ai∈{0,1,⋯,β−1},L≤c≤U}f(\beta,t,L,U)=\{\beta^c\times 0.a_1a_2a_3\cdots a_t|a_i\in\{0,1,\cdots,\beta-1\},L\leq c \leq U\}$
计算机对数的接收：首先判断给定实数是否属于给定机器数系，如果属于，则原样接收；不属于但给定实数是否在最小值与最大值之间，用接近给定实数 $f l (x)$ 表示并记录x
计算处理：加减：先对阶、运算、舍入；乘除：运算、舍入

科学计算的实质是用近似的数据，去获得可用的结果，强调计算结果的可用性，而不是准确性。
科学计算保证计算结果可用性的依据是对计算误差控制。那本期咱们就来学习误差。

1.3 误差

所谓误差就是准确值与近似值的差异。

1.3.1 误差的来源

主要来源有4个方面：

模型误差（也称描述误差）

建立数据模型时引入的误差，不是数值分析可以解决的；
观测误差（也称数据误差）

采集元素数据时引入的误差，也不是数值分析能解决的问题，例如：仪器精度等
截断误差（也称方法误差）

对计算的数学公式做简化处理后所产生的误差。由于科学结算经常要把一些数学函数变成计算机易于处理的形式，总会产生截断误差，是数值分析主要研究的误差；
舍入误差（也称计算误差）

计算机因数系有限，在接收和运算数据时引起的误差，也是数值分析关注的内容；

1.3.2 误差的定义

绝对误差（简称误差）定义： 设 $x$ 是准确值， $x^*$ 是 $x$ 的一个近似值，称差 $x^*-x$ 为近似值 $x^*$ 的绝对误差，简称误差，记为 $e^*或e(x^*)$ ，即 $e(x^*)=x^*-x$ 。

由于准确值 $x$ 通常是未知的，故误差 $e^*$ 一般是计算不出来的，为此引入误差限对误差进行估计。

误差限定义：满足 $∣e∗∣=∣x∗−x∣≤ϵ∗|e^*|=|x*-x|\leq \epsilon^*$ 的正数 $ϵ∗\epsilon^*$ 为近似值 $x^*$ 的误差限。

误差限一般可以求出，例如用具有毫米刻度的皮尺去测量某个物件的长度，测得的数据与物件的实际长度不会超过半个毫米，这半个毫米就是物件长度的误差限。

误差限给出了准确值 $x$ 所在范围为 $x∗−ϵ∗≤x≤x∗+ϵ∗x^*-\epsilon^*\leq x\leq x^*+\epsilon^*$ ，该范围常用 $x=x∗±ϵ∗x=x^*\pm \epsilon^*$

通常误差限一般取为获得该近似数仪器精度的半个单位，显然误差限 $ϵ∗\epsilon^*$ 越小，近似值越准确。
绝对误差不能反映近似值 $x^*$ 的近似程度，为描述近似数的近似程度，需要引入相对误差：

相对误差定义：设 $x$ 是准确值， $x^*$ 是 $x$ 的一个近似值，称 $e∗x=x∗−xx\frac{e^*}{x}=\frac{x^*-x}{x}$ 为近似值 $x^*$ 的相对误差，记为 $e_r^*或e_r(x^*)$ ，即 $er(x∗)=e∗x=x∗−xxe_r(x^*)=\frac{e^*}{x}=\frac{x^*-x}{x}$

相对误差的绝对值越小，近似程度越高。
由于准确值 $x$ 通常是未知的，故相对误差一般是计算不出来的，为此引入相对误差限对相对误差进行估计。

称满足 $∣er(x∗)∣=∣x∗−xx∣≤ϵr∗|e_r(x^*)|=|\frac{x^*-x}{x}|\leq \epsilon_r^*$ 为正数 $ϵr∗\epsilon_r^*$ 为近似数 $x^*$ 的相对误差限。

使用中常用绝对误差限来估计，为方便估计相对误差限制，实用中常用 $e∗x∗=x∗−xx∗\frac{e^*}{x^*}=\frac{x^*-x}{x^*}$ 进行误差限计算。

1.3.3 数值计算的误差

带有误差的数经过四则运算后误差的变化有如下估算关系：

定理1-1 假设 $x^*和y^*$ 分别是准确值 $x 和 y$ 的一个近似值，则有：
（1）四则运算的绝对误差估计： $e(x∗±y∗)=e(x∗)±e(y∗)e(x∗×y∗)≈y∗e(x∗)+x∗e(y∗)e(x∗y∗)≈y∗e(x∗)−x∗e(y∗)(y∗)2e(x^*\pm y^*)=e(x^*)\pm e(y^*)\\ \space \\ e(x^*\times y^*)\approx y^*e(x^*)+x^*e(y*)\\ \space \\ e(\frac{x^*}{y^*})\approx \frac{y^*e(x^*)-x^*e(y^*)}{(y^*)^2}$
（2）四则运算的相对误差估计： $er(x∗±y∗)≈x∗er(x∗)±y∗er(y∗)x∗±y∗er(x∗×y∗)≈er(x∗)+er(y∗)e(x∗y∗)≈er(x∗)−er(y∗)e_r(x^*\pm y^*)\approx\frac{x^*e_r(x^*) \pm y^*e_r(y^*)}{x^*\pm y^*}\\ \space \\ e_r(x^*\times y^*)\approx e_r(x^*)+e_r(y*)\\ \space \\ e(\frac{x^*}{y^*})\approx e_r(x^*)-e_r(y^*)$

近似数 $x$ 的绝对误差和相对误差与微分的关系： $绝对误差与微分：dx=e(x^*)\\ 相对误差与微分：d\ln x=e_r(x^*)$

【例1-2】考查函数 $y=x^n$ 的相对误差与自变量x的相对误差关系。

解： $两边同时去对数得：ln⁡y=nln⁡x⟹dln⁡y=ndln⁡x由相对误差与微分关系式：dln⁡x=er(x∗)故：er((x∗)n)=ner(x∗)由此可知函数xn的相对误差为自变量x的相对误差的n倍两边同时去对数得：\\ \ln y=n\ln x\Longrightarrow d \ln y=nd\ln x \\ 由相对误差与微分关系式：d\ln x=e_r(x^*)\\ 故：e_r((x^*)^n)=ne_r(x^*)\\ 由此可知函数x^n的相对误差为自变量x的相对误差的n倍$ 。

处理一般函数计算的误差问题常用Taylor展开式进行估计：

定理1-2 设多元函数 $u=f(x1,x2,⋯,xn)u=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ ，向量自变量 $(x1,x2,⋯,xn)(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的近似值为 $(x1∗,x2∗,⋯,xn∗)(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*)$ ，则有多元函数 $f(x1,x2,⋯,xn)f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的误差估计：
（1） $e(f(x1∗,x2∗,⋯,xn∗))≈∑i=1n∂f(x1∗,x2∗,⋯,xn∗)∂xie(xi∗)e(f(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*))\approx \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*)}{\partial x_i}e(x_i^*)$
（2） $ϵ(f(x1∗,x2∗,⋯,xn∗))≈∑i=1n∣∂f(x1∗,x2∗,⋯,xn∗)∂xi∣ϵ(xi∗)\epsilon(f(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*))\approx \sum_{i=1}^{n}|\frac{\partial f(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*)}{\partial x_i}|\epsilon(x_i^*)$
（3） $ϵr(f(x1∗,x2∗,⋯,xn∗))≈∑i=1n∣∂f(x1∗,x2∗,⋯,xn∗)∂xi∣ϵ(xi∗)∣f(x1∗,x2∗,⋯,xn∗)∣≈ϵ(f(x1∗,x2∗,⋯,xn∗))∣f(x1∗,x2∗,⋯,xn∗)∣\epsilon_r(f(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*))\approx \sum_{i=1}^{n}|\frac{\partial f(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*)}{\partial x_i}|\frac{\epsilon(x_i^*)}{|f(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*)|}\approx \frac{\epsilon(f(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*))}{{|f(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*)|}}$

【例1-3】 设有一长方体水池，测得其长、宽、深分别为 $50m±0.01m,25m±0.01m,20m±0.01m50m\pm 0.01m,25m\pm 0.01m,20m\pm 0.01m$ ，试按所给数据求出该水池的容积，并给出绝对误差限和相对误差限。

**解：**令 $l, w, h, v$ 分别代表长方体的长、宽、深、容积，由长方体体积公式可得： $v = v (l, w, h) = lw h$
由题意可得长、宽、深的近似值和误差限如下： $近似值：l∗=50m,w∗=25m,h∗=20m误差限：ϵ(l∗)=ϵ(w∗)=ϵ(h∗)=0.01m近似值：l^*=50m,w^*=25m,h^*=20m \\ 误差限：\epsilon(l^*)=\epsilon(w^*)=\epsilon(h^*)=0.01m$
按所给数据求出该水池的容积为： $v(l∗,w∗,h∗)=l∗w∗h∗=50×25×20=2500m3v(l^*,w^*,h^*)=l^*w^*h^*=50\times 25 \times 20=2500m^3$
依据多元函数绝对误差限制公式可得： $ϵ(v(l∗,w∗,h∗))≈∂v∗∂lϵ(l∗)+∂v∗∂wϵ(w∗)+∂v∗∂hϵ(h∗)≈w∗h∗ϵ(l∗)+l∗h∗ϵ(w∗)+w∗l∗ϵ(h∗)≈25×20×0.01+50×25×0.01+50×20×0.01≈27.50m3\epsilon(v(l^*,w^*,h^*))\approx \frac{\partial v*}{\partial l}\epsilon(l^*)+ \frac{\partial v*}{\partial w}\epsilon(w^*)+ \frac{\partial v*}{\partial h}\epsilon(h^*)\\ \approx w^*h^*\epsilon(l^*)+l^*h^*\epsilon(w^*)+w^*l^*\epsilon(h^*)\\ \approx 25\times20\times 0.01+50\times 25 \times 0.01+50\times 20 \times 0.01\\ \approx27.50m^3$
依据多元函数相对误差限制公式可得： $ϵr(v∗)≈ϵ(v∗)v∗=27.50/2500=0.11%\epsilon_r(v^*)\approx \frac{\epsilon(v*)}{v^*}=27.50/2500=0.11\%$
故绝对容积的误差限和相对误差限分别为27.50立方米、 $0.11%0.11\%$

1.3.4 计算机的舍入误差

设计算机的数系为 $f(β,t,L,U)f(\beta,t,L,U)$ ,m和M是其中绝对值最小和最大的正数，某数 $x=±βc×0.a1a2⋯,a1≠0满足m<∣x∣<M,x∉f(β,t,L,U)x=\pm \beta^c\times 0.a_1a_2\cdots,a_1\neq 0满足m\lt |x| \lt M,x\notin f(\beta,t,L,U)$ ，则计算机舍入处理后以数 $f l (x)$ 接收，则

$fl(x)=±βc×a‾a‾={0.a1a2⋯at,0≤at+1<β20.a1a2⋯at+β−t,at+1≥β2}fl(x)=\pm \beta^c\times \overline{a}\\ \overline{a}= \left \{ \begin{matrix} 0.a_1a_2\cdots a_t,0\leq a_{t+1}\lt \frac{\beta}{2} \\ 0.a_1a_2\cdots a_t+\beta^{-t},a_{t+1}\ge \frac{\beta}{2} \end{matrix} \right \}$

因此计算机对 $x$ 的舍入绝对误差和舍入相对误差有如下估计：

(1) $∣e(fl(x))∣=∣x−fl(x)∣≤0.5×βc−t|e(fl(x))|=|x-fl(x)|\leq 0.5 \times \beta^{c-t}$
(2) $∣er(fl(x))∣=∣x−fl(x)∣∣x∣≤0.5×β1−t|e_r(fl(x))|=\frac{|x-fl(x)|}{|x|}\leq 0.5 \times \beta^{1-t}$