回溯剪枝的 “减法艺术”：化解超时危机的 “救命稻草”(二)

专栏：算法的魔法世界

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一、例题讲解

1.1. 电话号码的字母组合

1.2. 括号生成

1.3. 组合

1.4. 目标和

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一、例题讲解

1.1. 电话号码的字母组合

        仅包含数字2—9的字符串，返回该数字字符串能表示的所有字母组合，组合顺序可任意。

        我们先利用字符串数组映射出数字和字母之间的关系。然后画出决策树，我们只需对决策树进行深度优先遍历，收集叶子节点的值。递归方法的设计，我们需要递归处理电话号码对应的字符串以及字符串的下标。当把字符串的最后一个字符添加进路径中的字符串后，回溯。递归的出口，遍历完字符串的最后一个位置。

        完整代码实现：

class Solution {public String[] hash = {"", "", "abc", "def", "ghi", "jkl", "mno", "pqrs", "tuv", "wxyz"};public StringBuffer path; // 储存当前路径的字符串public List<String> ret; // 储存最终结果public List<String> letterCombinations(String digits) {path = new StringBuffer();ret = new ArrayList<>();// 字符串为空，直接返回空列表if (digits.length() == 0) {return ret;}dfs(digits, 0); // 深搜return ret;}private void dfs(String digits, int pos) {// 到达字符串末尾，递归出口if (pos == digits.length()) {ret.add(path.toString());return;}String index = hash[digits.charAt(pos) - '0'];for (int i = 0; i < index.length(); i++) {path.append(index.charAt(i));// 递归处理下一个数字dfs(digits, pos + 1);// 回溯path.deleteCharAt(path.length() - 1);}}
}

1.2. 括号生成

        返回一个字符串列表，包含所有可能且有效的括号组合；括号组合需满足 “有效”—— 即左括号与右括号数量均为n，且任意前缀中左括号数量不小于右括号数量。

        通过下图的决策树，我们很容易发现剪枝的策略：当左括号数量>=m时；右括号数量大于左括号数量时。递归方法不用传参数，只需要对决策树往下递归并添加左括号或者右括号即可。当遍历到叶子节点时，同时这里也是递归出口，回溯时，只需把字符串的最后一个字符删掉即可。

        完整代码实现：

class Solution {// 左括号和右括号数量int left, right, m;StringBuffer path;List<String> ret;public List<String> generateParenthesis(int n) {m = n;path = new StringBuffer();ret = new ArrayList<>();dfs();return ret;}public void dfs() {// 当右括号数量等于m时，表示已经完成了一个合法的组合if (right == m) {ret.add(path.toString());return;}// 如果左括号数量小于m，添加左括号if (left < m) {path.append('(');left++;dfs();// 回溯path.deleteCharAt(path.length() - 1);left--;}// 如果右括号数量小于左括号数量，可以添加右括号if (right < left) {path.append(')');right++;dfs();// 回溯path.deleteCharAt(path.length() - 1);right--;}}
}

1.3. 组合

        给定两个整数n和k，返回范围[1, n]中所有由k个不同数组成的组合，组合内元素顺序不影响。

        通过下图的决策树可以看出：当选到重复数字时；因为返回顺序可任意，所以123、213是同一种情况，可以剪枝。这里我们不需要全局变量进行剪枝，当我们选出第一个数字i时，只需要枚举[i, n]之间的数字即可。递归函数传入一个起始位置start，当收集到的结果的长度=k时，就是到达了叶子结点，此时将叶子结点的结果添加到结果集中。

class Solution {int m, j;List<Integer> path;List<List<Integer>> ret;public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {// 初始化m = n;j = k;path = new ArrayList<>();ret = new ArrayList<>();dfs(1);return ret;}private void dfs(int start) {// 如果当前路径长度等于j，将目前路径添加到结果集中if (path.size() == j) {ret.add(new ArrayList<>(path));return;}// 遍历所有可能的数字for (int i = start; i <= m; i++) {path.add(i);// 递归处理下一个元素dfs(i + 1);// 回溯path.remove(path.size() - 1);}}
}

1.4. 目标和

        给定一个非负整数数组nums，以及一个整target；给nums中的每个整数前分别添加 '+'或'-'，再将所有整数串联，构造出一个表达式。统计并返回运算结果等于target的不同表达式的数目。

        当我们把决策树画出来之后，这道题起始就是二叉树的深搜，就是寻找叶子节点的值是否等于target。

class Solution {int path, ret, aim;public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {aim = target;dfs(nums, 0);return ret;}private void dfs(int[] nums, int pos) {// 处理完数组所有元素if (pos == nums.length) {// 如果当前路径和等于目标值，则计数加一if (path == aim) {ret++;}return;}// 加上当前数字path += nums[pos];// 递归处理下一个数字dfs(nums, pos + 1);// 回溯path -= nums[pos];// 减去当前数字path -= nums[pos];// 递归处理下一个数字dfs(nums, pos + 1);// 回溯path += nums[pos];}
}