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求最小公倍数（GCD）和最大公约数（LCM）——原理和代码

news 2025/9/15 11:46:03

一、最大公约数（GCD）

两个整数 a 和 b 的最大公约数是能同时整除 a 和 b 的最大正整数。

求法：欧几里得算法（辗转相除法）

原理：

gcd(a, b) = gcd(b, a % b) 直到 b == 0，此时 a 就是最大公约数。

//计算两个整数的最大公约数（GCD）
//使用辗转相除法（欧几里得算法）
int gcd(int a,int b){if (a == 0) return abs(b);if (b == 0) return abs(a);// 取绝对值，保证算法在正整数上运行a = abs(a);b = abs(b);while(b!=0){int r = a% b;a = b;b = r;}return a;
}

二、最小公倍数（LCM）

两个整数 a 和 b 的最小公倍数是整数公有的倍数中，最小的那个正整数。

求法： 利用最大公约数

lcm(a, b) = |a * b| / gcd(a, b)

//计算两个整数的最小公倍数（LCM）
//利用公式：LCM(a, b) = |a*b| / GCD(a, b)
int lcm(int a,int b){if(a==0 || b==0) return 0;return abs(a*b) /  gcd(a,b);
}

测试：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
using namespace std;//计算两个整数的最大公约数（GCD）
//使用辗转相除法（欧几里得算法）
int gcd(int a,int b){if (a == 0) return abs(b);if (b == 0) return abs(a);// 取绝对值，保证算法在正整数上运行a = abs(a);b = abs(b);while(b!=0){int r = a% b;a = b;b = r;}return a;
}
//计算两个整数的最小公倍数（LCM）
//利用公式：LCM(a, b) = |a*b| / GCD(a, b)
int lcm(int a,int b){if(a==0 || b==0) return 0;return abs(a*b) /  gcd(a,b);
}int main()
{// 基本测试cout << "GCD(48, 18) = " << gcd(48, 18) << endl;   // 输出：6cout << "LCM(48, 18) = " << lcm(48, 18) << endl;   // 输出：144// 含负数的测试cout << "GCD(-48, 18) = " << gcd(-48, 18) << endl; // 输出：6cout << "LCM(-48, -18) = " << lcm(-48, -18) << endl; // 输出：144// 含0的测试cout << "GCD(0, 12) = " << gcd(0, 12) << endl;     // 输出：12cout << "LCM(0, 12) = " << lcm(0, 12) << endl;     // 输出：0（表示无意义）return 0;
}