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【数据结构与算法】图 Floyd算法

news 2025/9/15 7:48:56

算法核心：

图的类型：无向图，有向图（注意边的方向性）

边权特性： 支持负权边，但是不允许“包含负权边的回路”，否则会导致路径长度无线减小，无法收敛。

图的存储：

使用邻接矩阵存储，用于快速访问任意两点间的边权。

算法原理步骤

动态规划状态定义

定义 dp[k][i][j]=表示只允许使用前k个节点作为中间节点，顶点 i 到顶点j 的最短距离。

根据状态转移：

不选择第k个节点作为中间节点:

$dp[k][i][j]=dp[k-1][i][j]$

选择第k个顶点组委中间节点：路径拆分为i->k->j

$dp[k][i][j] =dp[k-1][i][j]+dp[k-1][i][j]$ .

状态转移方程为：

$dp[k][i][j]=min(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i][k]+dp[k-1][k][j])$

空间优化（关键）

观察dp[k][...] 仅依赖dp[k-1][...] ，因此无需存储所有k 层状态，可以直接用二维数组dist覆盖更新

（k 作为外层循环，每次更新dist[i]j[ 时复用之前的结果]）。

实现步骤

假设图中有n个顶点，邻接矩阵初始化为dist ，步骤如下：

初始化邻接矩阵

对顶点i, dist[i][i]=0 自身到自身的距离为0

如果顶点i和j 直接有直接的边，权重为w 则dist[i][j]=w

如果顶点i 和j 无直接边， $dist[i][j]=\infty$ ，表示不可达，通常用一个极大值如10^9

外层循环（枚举中间节点k）

遍历所有可能的中间顶点k(从1到n)

中间循环：枚举起点i:

遍历所有可能的起点i (从1到n)

内侧循环：枚举终点 j

遍历所有可能的终点j , （1到 n ）,执行松弛操作，

$dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j])$

（可选）检测负权回路：

算法结束后，若存在 $(dist[i][i] < 0)$ ，则说明图中存在包含顶点 i 的负权回路（因为自身到自身的距离不可能为负）

代码

c++

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;const int INF = INT_MAX / 2;  // 避免加法溢出int main() {int n, m;  // n: 顶点数, m: 边数cin >> n >> m;// 1. 初始化邻接矩阵vector<vector<int>> dist(n + 1, vector<int>(n + 1, INF));for (int i = 1; i <= n; ++i) {dist[i][i] = 0;  // 自身到自身距离为0}// 读入边：u -> v，权值 wfor (int i = 0; i < m; ++i) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;dist[u][v] = w;  // 若为无向图，需额外添加 dist[v][u] = w}// 2. Floyd 算法核心（k: 中间顶点，i: 起点，j: 终点）for (int k = 1; k <= n; ++k) {for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int j = 1; j <= n; ++j) {// 若 i->k 或 k->j 不可达，则跳过（避免 INF + INF 溢出）if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF) {dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]);}}}}// 3. 输出所有顶点间的最短距离cout << "所有顶点间的最短距离：" << endl;for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int j = 1; j <= n; ++j) {if (dist[i][j] == INF) {cout << "INF ";  // 不可达} else {cout << dist[i][j] << " ";}}cout << endl;}// 4. 检测负权回路bool has_negative_cycle = false;for (int i = 1; i <= n; ++i) {if (dist[i][i] < 0) {has_negative_cycle = true;break;}}if (has_negative_cycle) {cout << "图中存在负权回路！" << endl;}return 0;
}

python

import sys
# 避免类似 C++ 中 INT_MAX 溢出问题，使用一个足够大的数表示“不可达”
INF = float('inf')def main():# 读取输入（顶点数 n，边数 m）# 注：Python 中 input() 读取单行，需拆分字符串获取整数；若输入较大可改用 sys.stdin 提速n, m = map(int, sys.stdin.readline().split())# 1. 初始化邻接矩阵：dist[i][j] 表示顶点 i 到 j 的初始距离# 顶点编号从 1 开始（与 C++ 保持一致，避免索引偏移）dist = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]# 自身到自身的距离为 0for i in range(1, n + 1):dist[i][i] = 0# 读入 m 条边：u -> v，权值 w（有向边）for _ in range(m):u, v, w = map(int, sys.stdin.readline().split())# 若存在多条从 u 到 v 的边，保留权值最小的一条（与原 C++ 逻辑一致）dist[u][v] = w# 【若为无向图】需添加以下一行（无向边等价于双向有向边）：# dist[v][u] = w# 2. Floyd 算法核心：三层循环枚举中间顶点、起点、终点# k：中间顶点（允许经过前 k 个顶点时更新最短路径）for k in range(1, n + 1):# i：路径起点for i in range(1, n + 1):# j：路径终点for j in range(1, n + 1):# 跳过不可达的情况（避免 INF + INF 无意义计算）if dist[i][k] != INF and dist[k][j] != INF:# 松弛操作：更新 i->j 的最短距离if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]:dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]# 3. 输出所有顶点间的最短距离（格式与 C++ 一致）print("所有顶点间的最短距离：")for i in range(1, n + 1):row = []for j in range(1, n + 1):if dist[i][j] == INF:row.append("INF")else:row.append(str(dist[i][j]))# 用空格连接一行的元素，与 C++ 输出格式对齐print(' '.join(row))# 4. 检测负权回路：若存在顶点 i 满足 dist[i][i] < 0，说明有负权回路has_negative_cycle = Falsefor i in range(1, n + 1):if dist[i][i] < 0:has_negative_cycle = Truebreakif has_negative_cycle:print("图中存在负权回路！")if __name__ == "__main__":main()

不可达值（INF）： Python 中用 float('inf') 表示 “无穷大”，比 C++ 的 INT_MAX/2 更直观，且天然避免整数溢出问题（无需担心 INF + INF 超出范围）。

邻接矩阵初始化：用 Python 列表推导式 [[INF]*(n+1) for _ in range(n+1)] 创建 (n+1)×(n+1) 的矩阵（顶点编号从 1 开始，与 C++ 一致，减少逻辑偏移）。

输入处理： 使用 sys.stdin.readline() 替代 input()，处理大量输入时效率更高（适配题目中可能的大规模图数据）；通过 map(int, ...split()) 拆分输入字符串为整数，与 C++ 的 cin >> 逻辑一致。核心松弛操作：保留三层循环的顺序（k→i→j），仅将 C++ 的 min() 函数替换为 Python 的条件判断（if dist[i][j] > ...），逻辑完全等价，且更符合 Python 代码习惯。

输出格式： 用列表 row 收集每行的输出内容，最后通过 ' '.join(row) 用空格连接，确保输出格式与 C++ 一致（如 “INF” 对应不可达，数字对应最短距离）。负权回路检测：保留原逻辑 —— 遍历所有顶点 i，若 dist[i][i] < 0，说明存在经过 i 的负权回路（因为 “自身到自身的最短路径” 不可能为负）。

示例

示例1

输入（3 个顶点，4 条有向边）：

plaintext

输出：

所有顶点间的最短距离： 0 2 3 -3 0 1 -4 -2 0 图中存在负权回路！

该示例中，dist[1][1] = 0、dist[2][2] = 0、dist[3][3] = 0 看似无负，但实际计算过程中会发现循环 1→2→3→1 的总权值为 2+1+(-4) = -1 < 0，最终代码会正确检测出负权回路。

示例2

无负权边的有向图示例

中间顶点如何优化最短路径

示例场景：4 个顶点的有向图

假设我们有一个包含 4 个顶点（编号 1~4）的有向图，边的连接和权值如下（边的方向和权重是核心）：

1 → 2，权值 3
1 → 3，权值 6
2 → 3，权值 2
2 → 4，权值 5
3 → 4，权值 1
4 没有出边

第一步：明确输入格式

根据代码的输入要求（先输入顶点数 n 和边数 m，再输入 m 条边的起点、终点、权值），该示例的输入如下：

plaintext

第二步：算法执行逻辑拆解（核心步骤）

我们会按 Floyd 算法的三层循环（中间顶点 k → 起点 i → 终点 j），逐步展示邻接矩阵 dist 的更新过程，理解 “中间顶点如何缩短路径”。

1. 初始化邻接矩阵

初始时，dist[i][j] 的规则：

自身到自身：dist[i][i] = 0
有直接边：dist[i][j] = 边权
无直接边：dist[i][j] = INF（用 ∞ 表示）

初始 dist 矩阵（行是起点，列是终点）：

起点 \ 终点	1	2	3	4
1	0	3	6	∞
2	∞	0	2	5
3	∞	∞	0	1
4	∞	∞	∞	0

2. 枚举中间顶点 k=1（允许经过顶点 1 优化路径）

此时检查所有 i→j，看是否能通过 i→1→j 缩短路径。由于顶点 1 的出边只有 1→2、1→3，且大部分 i→1 不可达（如 i=2,3,4 到 1 是 ∞），因此矩阵无更新。

3. 枚举中间顶点 `k=2`（允许经过顶点 2 优化路径）

检查所有 i→j，看是否能通过 i→2→j 缩短路径，关键更新如下：

对于 i=1, j=3：原路径 1→3 权值 6；新路径 1→2→3 权值 3+2=5 → 更新 dist[1][3] = 5
对于 i=1, j=4：原路径 1→4 是 ∞；新路径 1→2→4 权值 3+5=8 → 更新 dist[1][4] = 8

更新后的 dist 矩阵：

起点 \ 终点	1	2	3	4
1	0	3	5	8
2	∞	0	2	5
3	∞	∞	0	1
4	∞	∞	∞	0

4. 枚举中间顶点 `k=3`（允许经过顶点 3 优化路径）

检查所有 i→j，看是否能通过 i→3→j 缩短路径，关键更新如下：

对于 i=1, j=4：原路径 1→4 权值 8；新路径 1→3→4 权值 5+1=6 → 更新 dist[1][4] = 6
对于 i=2, j=4：原路径 2→4 权值 5；新路径 2→3→4 权值 2+1=3 → 更新 dist[2][4] = 3

更新后的 dist 矩阵：

起点 \ 终点	1	2	3	4
1	0	3	5	6
2	∞	0	2	3
3	∞	∞	0	1
4	∞	∞	∞	0

5. 枚举中间顶点 `k=4`（允许经过顶点 4 优化路径）

由于顶点 4 没有出边（所有 4→j 除了自身都是 ∞），因此矩阵无更新。

第三步：代码输出结果

将上述输入代入 Python 代码，最终输出如下（包含所有顶点间的最短距离，且无负权回路）：

plaintext

所有顶点间的最短距离：
0 3 5 6
INF 0 2 3
INF INF 0 1
INF INF INF 0

结果解读

输出矩阵的每一行代表 “从当前起点到所有终点的最短距离”：

起点 1 到各终点：1→1（0）、1→2（3）、1→3（5，1→2→3）、1→4（6，1→2→3→4）
起点 2 到各终点：2→1（不可达）、2→2（0）、2→3（2）、2→4（3，2→3→4）
起点 3 到各终点：3→1/2（不可达）、3→3（0）、3→4（1）
起点 4 到各终点：4→1/2/3（不可达）、4→4（0）

这与我们手动拆解的 “最优路径” 完全一致，验证了代码的正确性。

额外测试：含负权边（无负权回路）若在上述示例中添加一条边 3→1，权值 -2（无负权回路），输入变为： plaintext 4 6 1 2 3 1 3 6 2 3 2 2 4 5 3 4 1 3 1 -2 代码会检测到 “无负权回路”，且更新后的 dist[2][1] 会变为 2→3→1 的权值 2 + (-2) = 0，dist[3][1] = -2 等，进一步体现 Floyd 算法对负权边的支持。