RL【10-1】：Actor - Critic

系列文章目录

Fundamental Tools

RL【1】：Basic Concepts
RL【2】：Bellman Equation
RL【3】：Bellman Optimality Equation

Algorithm

RL【4】：Value Iteration and Policy Iteration
RL【5】：Monte Carlo Learning
RL【6】：Stochastic Approximation and Stochastic Gradient Descent

Method

RL【7-1】：Temporal-difference Learning
RL【7-2】：Temporal-difference Learning
RL【8】：Value Function Approximation
RL【9】：Policy Gradient
RL【10-1】：Actor - Critic
RL【10-2】：Actor - Critic

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前言

本系列文章主要用于记录 B站 赵世钰老师的【强化学习的数学原理】的学习笔记，关于赵老师课程的具体内容，可以移步：
B站视频：【【强化学习的数学原理】课程：从零开始到透彻理解（完结）】
GitHub 课程资料：Book-Mathematical-Foundation-of-Reinforcement-Learning

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Introduction

Actor-critic methods are still policy gradient methods.

• They emphasize the structure that incorporates the policy gradient and
  value-based methods.

What are “actor” and “critic”?

• Here, “actor” refers to policy update. It is called actor is because the policies will be applied to take actions.
• Here, “critic” refers to policy evaluation or value estimation. It is called critic because it criticizes the policy by evaluating it.

Actor 和 Critic 的角色和功能可以这么理解

1. Actor（行动者）

   • 功能：

     • Actor 负责 决策，即根据当前状态 $s$ 输出动作 $a$ 的概率分布（策略）。

   • 数学形式：

     通常表示为一个参数化策略 ${\pi }_{\theta }(a|s)$，参数 $\theta$ 来自神经网络。

   • 直观类比：

     相当于一个“演员”，在舞台上看到当前环境状态后，决定下一步要表演的动作。

   • 输出：

     • 离散动作环境 → 各动作的概率分布。
     • 连续动作环境 → 动作的均值与方差。

2. Critic（评论家）

   • 功能：

     Critic 负责 评价 Actor 的动作选择得好不好。它通过估计 价值函数（Value Function）来衡量某状态或状态–动作对的长期回报。

   • 数学形式：

     • 状态值函数 $V^{\pi }(s)$

     • 或动作值函数 $Q^{\pi }(s,a)$

       Critic 通过比较 实际回报 和 预测值 来给 Actor 提供梯度信号。

   • 直观类比：

     相当于一个“评论家”，不表演，但会点评“刚刚那个动作好/不好”，并给出改进方向。

3. Actor–Critic 的交互流程

   1. Actor 决策：根据状态 $s_t$ 选取动作 $a_t$。
   2. 环境反馈：环境返回奖励 $r_t$ 和下一个状态 $s_{t+1}$。
   3. Critic 评价：通过 TD(Temporal Difference) 误差 ${\delta }_t=r_t+\gamma V(s_{t+1})-V(s_t)$ 来衡量好坏。
   4. Actor 更新：利用 Critic 给的信号（${\delta }_t$）来更新策略参数 $\theta$。

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The simplest actor-critic (QAC)

Revisit the idea of policy gradient

• Revisit the idea of policy gradient

  1. A scalar metric $J(\theta )$, which can be ${\bar{v}}_{\pi }$ or ${\bar{r}}_{\pi }$.

  2. The gradient-ascent algorithm maximizing $J(\theta )$ is

     ${\theta }_{t+1}={\theta }_t+\alpha {\nabla }_{\theta }J({\theta }_t)$

     $={\theta }_t+\alpha \mathbb{E}S\sim \eta ,A\sim \pi [\nabla \theta \ln \pi (A|S,{\theta }_t)q_{\pi }(S,A)]$

  3. The stochastic gradient-ascent algorithm is

     ${\theta }_{t+1}={\theta }_t+\alpha {\nabla }_{\theta }\ln \pi (a_t|s_t,{\theta }_t)q_t(s_t,a_t)$

• We can see “actor” and “critic” from this algorithm:

  • This algorithm corresponds to actor!
  • The algorithm estimating $q_t(s,a)$ corresponds to critic!

从 Policy Gradient 到 Actor-Critic

在 Policy Gradient (PG) 方法中，我们的目标是最大化某个指标（如 ${\bar{v}}_{\pi }$ 或 ${\bar{r}}_{\pi }$）：

${\theta }_{t+1}={\theta }_t+\alpha {\nabla }_{\theta }J({\theta }_t)={\theta }_t+\alpha \mathbb{E}S\sim \eta ,A\sim \pi [\nabla \theta \ln \pi (A|S,{\theta }_t)q_{\pi }(S,A)]$

• Actor 部分：${\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,\theta )$，决定如何更新策略参数 $\theta$；
• Critic 部分：$q_{\pi }(S,A)$，决定给 Actor 提供的学习信号（Critic 来评估 当前动作的价值，并把这个评估结果作为学习信号反馈给 Actor）。

但是：

• $q_{\pi }(s,a)$ 在真实环境中是 未知 的 → 需要估计。
• 如果用 Monte Carlo 方法估计，就得到 REINFORCE；
• 如果用函数逼近 + 时序差分 (TD) 来估计，就得到 Actor-Critic。

The simplest actor-critic algorithm (QAC)

• Aim: Search for an optimal policy by maximizing $J(\theta )$.
• At time step $t$ in each episode, do:

  • Generate $a_t$ following $\pi (a|s_t,{\theta }_t)$, observe $r_{t+1},s_{t+1}$, and then generate $a_{t+1}$ following $\pi (a|s_{t+1},{\theta }_t)$.

  • Critic (value update):

    $w_{t+1}=w_t+{\alpha }_w[r_{t+1}+\gamma q(s_{t+1},a_{t+1},w_t)-q(s_t,a_t,w_t)]{\nabla }_{w}q(s_t,a_t,w_t)$

  • Actor (policy update):

    ${\theta }_{t+1}={\theta }_t+{\alpha }_{\theta }{\nabla }_{\theta }\ln \pi (a_t|s_t,{\theta }_t)q(s_t,a_t,w_{t+1})$

Actor-Critic 框架 (QAC)

在 Q Actor-Critic (QAC) 中：

• Actor（策略更新器）：

  • 根据 Critic 提供的 $q(s,a)$ 更新策略参数 $\theta$：

    ${\theta }_{t+1}={\theta }_t+{\alpha }_{\theta }{\nabla }_{\theta }\ln \pi (a_t|s_t,{\theta }_t)q(s_t,a_t,w_{t+1})$

  → 这一步是 策略梯度更新，提高高价值动作的概率。

• Critic（价值评估器）：

  • 使用 TD 方法来更新 $q(s,a)$ 的参数 $w$：

    $w_{t+1}=w_t+{\alpha }_w[r_{t+1}+\gamma q(s_{t+1},a_{t+1},w_t)-q(s_t,a_t,w_t)]{\nabla }_{w}q(s_t,a_t,w_t)$

  → 这一步是 价值函数近似，修正对 $q(s,a)$ 的估计。

Remarks:

• The critic corresponds to “SARSA + value function approximation”.
• The actor corresponds to the policy update algorithm.
• The algorithm is on-policy (why is PG on-policy?).
  • Since the policy is stochastic, no need to use techniques like $\epsilon$-greedy.
• This particular actor-critic algorithm is sometimes referred to as Q Actor-Critic (QAC).
• Though simple, this algorithm reveals the core idea of actor-critic methods.

Remarks 的几点解释

1. Actor ↔ Critic 的分工
   • Actor：负责学策略 $\pi (a|s,\theta )$（对应 Policy Gradient 更新）；
   • Critic：负责学价值函数 $q(s,a,w)$（对应 SARSA + 函数逼近）。
2. On-policy 特性
   • 采样数据时，必须按照当前策略 $\pi$ 来生成。
   • 因为 ${\nabla }_{\theta }\ln \pi (a|s,\theta )$ 直接依赖于当前策略。
   • 不需要像 Q-learning 一样用 $\epsilon$-greedy 来做探索。
3. 为什么叫 QAC？
   • 因为 Critic 用的是 $Q(s,a)$ （动作价值函数），所以叫 Q Actor-Critic。
4. 意义
   • REINFORCE 用 MC → 高方差；
   • Actor-Critic 用 TD → 降低方差，更稳定。
   • QAC 是最简单的 Actor-Critic，但它揭示了 “Actor 调整策略，Critic 提供信号” 的核心思想。

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Advantage actor-critic (A2C)

Baseline invariance

Property: the policy gradient is invariant to an additional baseline

${\nabla }_{\theta }J(\theta )=\mathbb{E}S\sim \eta ,A\sim \pi [\nabla \theta \ln \pi (A|S,{\theta }_t)q_{\pi }(S,A)]$

$=\mathbb{E}S\sim \eta ,A\sim \pi [\nabla \theta \ln \pi (A|S,{\theta }_t)(q_{\pi }(S,A)-b(S))]$

• Here, the additional baseline $b(S)$ is a scalar function of $S$.
• Next, we answer two questions:
  • Why is it valid?
  • Why is it useful?

Baseline Invariance 的核心思想

• 在 Policy Gradient 中，更新公式是：

  ${\nabla }_{\theta }J(\theta )=\mathbb{E}S\sim \eta ,A\sim \pi [\nabla \theta \ln \pi (A|S,{\theta }_t)q_{\pi }(S,A)]$

• 这意味着，策略参数的更新方向由 动作在当前状态下的价值 $q_{\pi }(S,A)$ 决定。

• 然而我们可以在公式里引入一个 baseline $b(S)$：

  ${\nabla }_{\theta }J(\theta )=\mathbb{E}S,A[\nabla \theta \ln \pi (A|S,{\theta }_t)(q_{\pi }(S,A)-b(S))]$

关键结论：无论选什么 $b(S)$，这个公式都是 不变的（即 baseline 不会改变期望的梯度方向）。

First, why is it valid?

• That is because

  $\mathbb{E}S\sim \eta ,A\sim \pi [\nabla \theta \ln \pi (A|S,{\theta }_t)b(S)]=0$

• The details:

$\begin{array}{rl}\mathbb{E}S\sim \eta ,A\sim \pi [\nabla \theta \ln \pi (A|S,{\theta }_t)b(S)]& =\sum _{s\in \mathcal{S}}\eta (s)\sum _{a\in \mathcal{A}}\pi (a|s,{\theta }_t){\nabla }_{\theta }\ln \pi (a|s,{\theta }_t)b(s)\\ & =\sum _{s\in \mathcal{S}}\eta (s)\sum _{a\in \mathcal{A}}{\nabla }_{\theta }\pi (a|s,{\theta }_t)b(s)\\ & =\sum _{s\in \mathcal{S}}\eta (s)b(s)\sum _{a\in \mathcal{A}}{\nabla }_{\theta }\pi (a|s,{\theta }_t)\\ & =\sum _{s\in \mathcal{S}}\eta (s)b(s){\nabla }_{\theta }\sum _{a\in \mathcal{A}}\pi (a|s,{\theta }_t)\\ & =\sum _{s\in \mathcal{S}}\eta (s)b(s){\nabla }_{\theta }1\\ & =0\end{array}$

为什么这是有效的（Why valid）

• 我们证明了：

  $\mathbb{E}S,A[\nabla \theta \ln \pi (A|S,{\theta }_t)b(S)]=0$

• 直观理解：

  • baseline 只是一个与动作无关的“参考值”；
  • 在期望下，它会完全抵消掉对梯度的影响；
  • 所以 baseline 不会引入偏差（unbiased）。

Second, why is the baseline useful?

• The gradient is

  ${\nabla }_{\theta }J(\theta )=\mathbb{E}[X]$

  • where

    $X(S,A)\doteq {\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,{\theta }_t)[q_{\pi }(S,A)-b(S)]$

  • We have

    • $\mathbb{E}[X]$ is invariant to $b(S)$.
    • $\mathrm{var}(X)$ is NOT invariant to $b(S)$.

• Why? Because

  $\mathrm{tr}[\mathrm{var}(X)]=\mathbb{E}[X^{T}X]-{\bar{x}}^T\bar{x}$

• and

  $\mathbb{E}[X^{T}X]=\mathbb{E}[({\nabla }_{\theta }\ln \pi {)}^T({\nabla }_{\theta }\ln \pi )(q_{\pi }(S,A)-b(S){)}^2]=\mathbb{E}[\Vert {\nabla }_{\theta }\ln \pi {\Vert }^2(q_{\pi }(S,A)-b(S){)}^2]$

为什么这是有用的（Why useful）

虽然 baseline 不改变期望梯度，但它会影响 梯度估计的方差：

• 真实更新用的是采样近似：

  ${\nabla }_{\theta }J\approx {\nabla }_{\theta }\ln \pi (a|s,\theta )(q_{\pi }(s,a)-b(s))$

• 如果没有 baseline，方差会很大（因为 $q_{\pi }(s,a)$ 波动很大）；

• 引入合适的 baseline，可以显著降低方差，提高稳定性。

这就是 Variance Reduction 的思想。

Our goal

• Select an optimal baseline b to minimize $\mathrm{var}(X)$.
  • Benefit: when we use a random sample to approximate $\mathbb{E}[X]$, the estimation variance would also be small.
• In the algorithms of REINFORCE and QAC,
  • There is no baseline.
  • Or, we can say $b=0$, which is not guaranteed to be a good baseline.

The optimal baseline

• The optimal baseline that can minimize $\mathrm{var}(X)$ is, for any $s\in \mathcal{S}$,

  $b^{\ast }(s)=\frac{\mathbb{E}A\sim \pi [\Vert \nabla \theta \ln \pi (A|s,{\theta }_t){\Vert }^2{q}_{\pi }(s,A)]}{\mathbb{E}A\sim \pi [\Vert \nabla \theta \ln \pi (A|s,{\theta }_t){\Vert }^2]}$

• Although this baseline is optimal, it is complex.

• We can remove the weight $\Vert {\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|s,{\theta }_t){\Vert }^2$ and select the suboptimal baseline:

  $b(s)=\mathbb{E}A\sim \pi [q\pi (s,A)]=v_{\pi }(s)$

  • which is the state value of $s$.

最优 baseline 与次优 baseline

• 最优 baseline：

  $b^{\ast }(s)=\frac{\mathbb{E}A\sim \pi [\Vert \nabla \theta \ln \pi (A|s,\theta ){\Vert }^2{q}_{\pi }(s,A)]}{\mathbb{E}A\sim \pi [\Vert \nabla \theta \ln \pi (A|s,\theta ){\Vert }^2]}$

  理论上最优，但计算复杂。

• 次优 baseline：

  $b(s)=\mathbb{E}A\sim \pi [q\pi (s,A)]=v_{\pi }(s)$

  也就是 状态价值函数。

  这就是 A2C 的关键：用 $A(s,a)=q_{\pi }(s,a)-v_{\pi }(s)$ 作为 优势函数 (Advantage)。

与 A2C (Advantage Actor-Critic) 的联系

• Actor 部分：

  使用优势函数 $A(s,a)=q_{\pi }(s,a)-v_{\pi }(s)$ 更新策略：

  $\theta \leftarrow \theta +\alpha {\nabla }_{\theta }\ln \pi (a|s,\theta )A(s,a)$

• Critic 部分：

  学习价值函数 $v_{\pi }(s)$ 来作为 baseline $b(s)$。

直观解释：

• Critic 估计 baseline（即状态价值 $v_{\pi }(s)$）；
• Actor 使用 $q_{\pi }-v_{\pi }$ 来更新，这样高于期望的动作会被增强，低于期望的动作会被削弱；
• 好处是降低了梯度的方差，更新更稳定。

The algorithm of advantage actor-critic

When $b(s)=v_{\pi }(s)$,

• the gradient-ascent algorithm is

  ${\theta }_{t+1}={\theta }_t+\alpha \mathbb{E}[{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,{\theta }_t)[q_{\pi }(S,A)-v_{\pi }(S)]]$

  $\doteq {\theta }_t+\alpha \mathbb{E}[{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,{\theta }_t){\delta }_{\pi }(S,A)]$

  • where

    ${\delta }_{\pi }(S,A)\doteq q_{\pi }(S,A)-v_{\pi }(S)$

  • is called the advantage function (why called advantage?).

• the stochastic version of this algorithm is

  ${\theta }_{t+1}={\theta }_t+\alpha {\nabla }_{\theta }\ln \pi (a_t|s_t,{\theta }_t)[q_t(s_t,a_t)-v_t(s_t)]$

  $={\theta }_t+\alpha {\nabla }_{\theta }\ln \pi (a_t|s_t,{\theta }_t){\delta }_t(s_t,a_t)$

Moreover, the algorithm can be reexpressed as

${\theta }_{t+1}={\theta }_t+\alpha {\nabla }_{\theta }\ln \pi (a_t|s_t,{\theta }_t){\delta }_t(s_t,a_t)$

$={\theta }_t+\alpha \frac{{\nabla }_{\theta }\pi (a_t|s_t,{\theta }_t)}{\pi (a_t|s_t,{\theta }_t)}{\delta }_t(s_t,a_t)$

$={\theta }_t+\alpha \left(\frac{{\delta }_t(s_t,a_t)}{\pi (a_t|s_t,{\theta }_t)}\right){\nabla }_{\theta }\pi (a_t|s_t,{\theta }_t)$

• The step size is proportional to the relative value ${\delta }_t$ rather than the absolute value $q_t$, which is more reasonable.
• It can still well balance exploration and exploitation.

Furthermore, the advantage function is approximated by the TD error:

${\delta }_t=q_t(s_t,a_t)-v_t(s_t);;\to ;;r_{t+1}+\gamma v_t(s_{t+1})-v_t(s_t)$

• This approximation is reasonable because

  $\mathbb{E}[q_{\pi }(S,A)-v_{\pi }(S)|S=s_t,A=a_t]=\mathbb{E}[R+\gamma v_{\pi }(S’)-v_{\pi }(S)|S=s_t,A=a_t]$

• Benefit: only need one network to approximate $v_{\pi }(s)$ rather than two networks for $q_{\pi }(s,a)$ and $v_{\pi }(s)$.

Advantage actor-critic (A2C) or TD actor-critic

• Aim: Search for an optimal policy by maximizing $J(\theta )$.

• At time step $t$ in each episode, do

  • Generate $a_t$ following $\pi (a|s_t,{\theta }_t)$ and then observe $r_{t+1},s_{t+1}$.

  • TD error (advantage function):

    ${\delta }_t=r_{t+1}+\gamma v(s_{t+1},w_t)-v(s_t,w_t)$

  • Critic (value update):

    $w_{t+1}=w_t+{\alpha }_w{\delta }_t{\nabla }_{w}v(s_t,w_t)$

  • Actor (policy update):

    ${\theta }_{t+1}={\theta }_t+{\alpha }_{\theta }{\delta }_t{\nabla }_{\theta }\ln \pi (a_t|s_t,{\theta }_t)$

• It is on-policy. Since the policy $\pi ({\theta }_t)$ is stochastic, no need to use techniques like $\epsilon$-greedy.

Baseline → Advantage Function → A2C 算法实现

1. 从 Baseline 到 Advantage Function

   • 在 Policy Gradient 里，我们有基本的更新公式：

     ${\theta }_{t+1}={\theta }_t+\alpha {\nabla }_{\theta }\ln \pi (a_t|s_t,{\theta }_t)q_{\pi }(s_t,a_t)$

   • 但是直接使用 $q_{\pi }(s,a)$ 容易带来 高方差。于是我们可以引入 baseline $b(s)$ 来减少方差：

     ${\theta }_{t+1}={\theta }_t+\alpha {\nabla }_{\theta }\ln \pi (a_t|s_t,{\theta }_t)[q_{\pi }(s_t,a_t)-b(s_t)]$

   • 一个常见选择是 状态价值函数 $b(s)=v_{\pi }(s)$。这样，更新公式变为：

     ${\theta }_{t+1}={\theta }_t+\alpha {\nabla }_{\theta }\ln \pi (a_t|s_t,{\theta }_t){\delta }_{\pi }(s_t,a_t)$

     • 其中

       ${\delta }_{\pi }(s,a)=q_{\pi }(s,a)-v_{\pi }(s)$

     • 被称为 Advantage Function。

   • 直观解释：

     • $q_{\pi }(s,a)$ 表示在状态 $s$ 下执行动作 $a$ 的长期价值。
     • $v_{\pi }(s)$ 表示在状态 $s$ 下的平均价值（对所有动作加权）。
     • 因此 ${\delta }_{\pi }(s,a)$ 衡量了 这个动作相对平均水平的好坏。
       • $\delta >0$ → 动作比平均好，应增加概率。
       • $\delta <0$ → 动作比平均差，应降低概率。
2. 更新公式的进一步改写

   • 通过概率比形式，可以把更新写为：

     ${\theta }_{t+1}={\theta }_t+\alpha \left(\frac{{\delta }_t(s_t,a_t)}{\pi (a_t|s_t,{\theta }_t)}\right){\nabla }_{\theta }\pi (a_t|s_t,{\theta }_t)$

   • 这样可以看出，步长（step size）和 advantage 的相对大小直接挂钩，从而更合理地平衡探索（exploration）与利用（exploitation）。

3. Advantage 的近似：TD Error

直接计算 $q_{\pi }(s,a)$ 代价太大，所以引入 时间差分误差 (TD error) 来近似：

${\delta }_t=q_t(s_t,a_t)-v_t(s_t);;\approx ;;r_{t+1}+\gamma v_t(s_{t+1})-v_t(s_t)$

• 好处：
  • 只需学习 一个价值函数网络 $v_{\pi }(s)$，不需要同时学习 $q_{\pi }(s,a)$ 和 $v_{\pi }(s)$，降低计算复杂度。
  • ${\delta }_t$ 既是 TD 误差，也是 Advantage Function 的近似。

1. Advantage Actor-Critic (A2C) 算法流程

   A2C 结合了 Actor（策略更新） 和 Critic（价值函数更新）：

   • Critic（学习 $v(s)$，提供学习信号）

     $w_{t+1}=w_t+{\alpha }_w{\delta }_t{\nabla }_{w}v(s_t,w_t)$

     • 这里 critic 用 TD 误差 ${\delta }_t$ 来更新 $v(s)$。

   • Actor（更新策略）

     ${\theta }_{t+1}={\theta }_t+{\alpha }_{\theta }{\delta }_t{\nabla }_{\theta }\ln \pi (a_t|s_t,{\theta }_t)$

     • 这里 actor 根据 critic 提供的 ${\delta }_t$ 信号，调整策略。

   • 直观解释：

     • Critic 判断“这个动作到底好不好”，并计算 ${\delta }_t$。
     • Actor 根据 Critic 的反馈，增加好动作的概率，减少坏动作的概率。

2. 为什么 A2C 有优势？

   1. 降低方差：baseline（$v(s)$）有效减少了更新的随机性。
   2. 信号更直观：Advantage 告诉我们动作相对平均水平的好坏，而不是绝对值。
   3. 更高效：用 TD 误差近似 $q(s,a)-v(s)$，只需一个 Critic 网络。
   4. 仍然 On-Policy：采样和更新在当前策略下完成，不需要额外探索机制（例如 $ϵ$-greedy）。

• 总结下来，A2C 的关键逻辑是：

  Policy Gradient + Baseline → Advantage Function → 用 TD 误差近似 Advantage → Actor & Critic 协同更新。

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总结

Actor-Critic 方法通过 Critic 提供的价值估计来指导 Actor 的策略更新，而在确定性策略梯度（DPG/DDPG）中，Actor 直接输出动作并利用 ${\nabla }_{\theta }\mu (s){\nabla }_{a}q(s,a)$ 更新，避免了概率采样，高效适用于连续动作空间，但探索需依赖额外噪声。