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【C++练习】17.C++求两个整数的最大公约数(GCD）

news 2025/9/14 14:07:31

C++求两个整数的最大公约数(GCD)方法

在C++中，计算两个整数的最大公约数(GCD)有多种方法，下面我将介绍几种常见的方法及其实现。

1. 辗转相除法（欧几里得算法）

这是最经典且高效的GCD计算方法，基于以下数学原理：

gcd(a, b) = gcd(b, a % b)

迭代实现

int gcd_iterative(int a, int b) {while (b != 0) {int temp = b;b = a % b;a = temp;}return a;
}

递归实现

int gcd_recursive(int a, int b) {if (b == 0) return a;return gcd_recursive(b, a % b);
}

2. 更相减损术

这是中国古代的算法，原理是：

gcd(a, b) = gcd(a-b, b) （当a > b时）

实现代码

int gcd_subtraction(int a, int b) {while (a != b) {if (a > b) {a -= b;} else {b -= a;}}return a;
}

3. 使用STL中的gcd函数

C++17标准在
""头文件中提供了
"std::gcd"函数：

#include <numeric>
#include <iostream>int main() {int a = 56, b = 98;std::cout << "GCD is " << std::gcd(a, b) << std::endl;return 0;
}

4. 二进制GCD算法（Stein算法）

这是一种更高效的算法，特别适合计算机实现，避免了耗时的取模运算：

int gcd_binary(int a, int b) {if (a == 0) return b;if (b == 0) return a;int shift = 0;while (((a | b) & 1) == 0) {a >>= 1;b >>= 1;++shift;}while ((a & 1) == 0) {a >>= 1;}do {while ((b & 1) == 0) {b >>= 1;}if (a > b) {std::swap(a, b);}b -= a;} while (b != 0);return a << shift;
}

性能比较

欧几里得算法（辗转相除法）通常是最快的，特别是对于大数
更相减损术在大数情况下效率较低
二进制GCD算法避免了取模运算，在某些平台上可能更快

完整示例

#include <iostream>
#include <numeric> // 用于std::gcd// 辗转相除法（迭代）
int gcd_iterative(int a, int b) {while (b != 0) {int temp = b;b = a % b;a = temp;}return a;
}// 辗转相除法（递归）
int gcd_recursive(int a, int b) {return b == 0 ? a : gcd_recursive(b, a % b);
}// 更相减损术
int gcd_subtraction(int a, int b) {while (a != b) {if (a > b) a -= b;else b -= a;}return a;
}// 二进制GCD算法
int gcd_binary(int a, int b) {if (a == 0) return b;if (b == 0) return a;int shift = 0;while (((a | b) & 1) == 0) {a >>= 1;b >>= 1;++shift;}while ((a & 1) == 0) a >>= 1;do {while ((b & 1) == 0) b >>= 1;if (a > b) std::swap(a, b);b -= a;} while (b != 0);return a << shift;
}int main() {int a = 56, b = 98;std::cout << "Numbers: " << a << ", " << b << std::endl;std::cout << "GCD (iterative): " << gcd_iterative(a, b) << std::endl;std::cout << "GCD (recursive): " << gcd_recursive(a, b) << std::endl;std::cout << "GCD (subtraction): " << gcd_subtraction(a, b) << std::endl;std::cout << "GCD (binary): " << gcd_binary(a, b) << std::endl;// C++17标准方法#if __cplusplus >= 201703Lstd::cout << "GCD (std::gcd): " << std::gcd(a, b) << std::endl;#endifreturn 0;
}