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《堆的详解：结构、操作及堆排序算法》

news 2025/9/13 8:39:48

一.堆的概念与结构

1.1 堆的概念

1.2 堆性质：

1.3 堆的结构定义

二.堆的初始化和销毁

2.1 堆的初始化：

2.2 堆的销毁：

三.堆的插入数据(含向上调整算法的实现)

3.1 插入逻辑

3.2 插入函数

3.3 向上调整算法

三. 堆的删除数据(含向下调整算法)

3.1 删除逻辑

3.2 向下调整算法

3.3 删除栈顶

四.堆的取堆顶

五.堆排序的实现

5.1 借助数据结构实现排序

5.2 真正的堆排序算法

一.堆的概念与结构

堆（Heap）是一种特殊的完全二叉树，同时也是一种高效的数据结构，主要用于实现优先队列等场景。其核心特性是节点之间的数值关系满足严格的堆序性，具体可分为大堆（大顶堆） 和小堆（小顶堆）。

1.1 堆的概念

堆的本质
堆是一棵完全二叉树（结构特性），且每个节点的值必须满足：

若为大堆：每个节点的值大于等于其左右子节点的值（根节点是最大值）。
若为小堆：每个节点的值小于等于其左右子节点的值（根节点是最小值）。

1.2 堆性质：

堆中某个结点的值总是不大于或者不小于其父结点的值
堆总是一颗完全二叉树
堆顶是最值(最大值或最小值)

1.3 堆的结构定义

// 堆的结构体定义（大堆）
typedef int HPDataType;  // 堆中元素的类型
typedef struct Heap {HPDataType* arr;       // 存储堆元素的数组int size;            // 当前堆中元素的个数int capacity;        // 堆的最大容量
} Heap;

二.堆的初始化和销毁

2.1 堆的初始化：

// 初始化空堆
void HeapInit(Heap* hp) {if (hp == NULL) {return;  // 处理空指针}hp->arr = NULL;hp->size = 0;hp->capacity = 0;
}

2.2 堆的销毁：

销毁之前先检查数组为不为空，不为空就释放掉然后置空，并把size和capacity赋值为0

//销毁
void HPDestory(HP* php)
{assert(php);if (php->arr)free(php->arr);php->arr = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}

三.堆的插入数据(含向上调整算法的实现)

首先我们需要知道插入数据的逻辑然后通过向上调整的方法来实现

向上调整算法

向上调整（也称 “上浮”）的核心是：新插入的元素从底部逐步向上移动，与父节点比较，若不满足堆序则交换，直到找到合适位置或到达根节点。

3.1 插入逻辑

空间检查：若堆已满，需扩容（类似动态数组扩容）。
添加元素：将新元素插入到堆的末尾（数组的最后一个位置）。
向上调整：从新元素位置开始，与父节点比较并交换，直至满足堆序性（大堆：子节点≤父节点；小堆：子节点≥父节点）。

如下图:

3.2 插入函数

首先插入时我们需要判断空间是否足够若不够的话就需要进行增容代码如下

//往堆里面插入数据
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{//检查空间是否足够//不够就扩容if (php->size == php->capacity){int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->arr,newcapacity * sizeof(HPDataType));if (tmp == NULL){perror("realloc fail!");exit(1);}php->arr = tmp;php->capacity = newcapacity;}//够就直接插入php->arr[php->size++] = x;//向上调整AdjustUp(php->arr, php->size - 1);//因为前面size++了，所有传的是size-1
}

3.3 向上调整算法

//交换
void swap(int* a, int* b)
{int temp = *a;*a = *b;*b = temp;
}
//向上调整
void AdjustUp(HPDataType*arr, int child)
{assert(arr);int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){//大堆：>//小堆：<if (arr[child] > arr[parent]){swap(&arr[child], &arr[parent]);child = parent;parent= (child - 1) / 2;}else{break;}}
}

以大堆为例，步骤如下：

设新元素索引为child，其父节点索引为parent = (child - 1) / 2（数组从 0 开始）。
若a[child] > a[parent]（大堆条件），交换两者，更新child = parent，继续向上比较。
重复上述步骤，直到child = 0（根节点）或a[child] ≤ a[parent]

三. 堆的删除数据(含向下调整算法)

堆的删除操作通常指删除堆顶元素（根节点，即最大值或最小值），并通过向下调整算法重新维护堆的特性。以下是具体实现：

3.1 删除逻辑

替换堆顶：用堆的最后一个元素覆盖堆顶元素（避免直接删除堆顶导致结构破坏）。
缩减规模：堆的元素数量减 1（逻辑上移除最后一个元素）。
向下调整：从新的堆顶开始，与左右子节点中符合堆序的节点交换，直至满足堆的特性。

如下图

3.2 向下调整算法

向下调整（也称 “下沉”）的核心是：将替换后的堆顶元素逐步向下移动，与左右子节点中更符合堆序的节点（大堆选较大者，小堆选较小者）交换，直到找到合适位置或成为叶子节点。

以大堆为例，步骤如下：

设当前节点索引为parent，左子节点索引为child = 2 * parent + 1（数组从 0 开始）。
若右子节点存在且大于左子节点，更新child为右子节点索引。
若a[parent] < a[child]（大堆条件），交换两者，更新parent = child，继续向下比较。
重复上述步骤，直到child超出堆的范围或a[parent] ≥ a[child]。

//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* arr, int parent, int n)
{assert(arr);int child = 2 * parent + 1;while (child < n){//child+1也小于n//后面的小堆就是取小的，大堆取大的孩子if (child + 1 < n && arr[child] < arr[child + 1]){child++;}//大堆：>   小堆：<if (arr[child] > arr[parent]){swap(&arr[child], &arr[parent]);parent = child;child = 2 * parent + 1;}else{break;}}
}

3.3 删除栈顶

首先我们需要一个判断是否为空的函数

//判空
bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}

删除栈顶函数

//删除(堆顶操作)
void HPPop(HP* php)
{assert(!HPEmpty(php));//首尾交换swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size - 1]);php->size--;//向下调整AdjustDown(php->arr, 0, php->size);
}

先判断不为空，然后交换首尾，直接--size删掉，再通过向下调整算法把删除一个数据后的堆重新调整成大堆。

四.堆的取堆顶

首先判断是否为空若不为空则直接返回栈顶元素arr[0]

//取堆顶
HPDataType HPTop(HP* php)
{assert(!HPEmpty(php));return php->arr[0];
}

五.堆排序的实现

这里向大家介绍两种方式但其实第一种并不是真正意义上的排序只是达到了排序的目的而已

下面介绍第一种

5.1 借助数据结构实现排序

#include"Heap.h"//堆排序--这不是真正的堆排序，而是利用了堆这个数据结构来实现的排序
void HeapSort1(int* arr, int n)
{HP sp;               // 定义一个堆结构体变量HPInit(&sp);         // 初始化堆（创建空堆）// 1. 将数组所有元素插入堆中for (int i = 0; i < n; i++){HPPush(&sp, arr[i]);  // 插入元素，内部会通过向上调整维护堆序}// 2. 从堆中提取元素，重构数组int i = 0;while (!HPEmpty(&sp))    // 当堆不为空时{HPDataType top = HPTop(&sp);  // 获取堆顶元素（最小值或最大值）arr[i++] = top;               // 将堆顶元素存入原数组，依次填充HPPop(&sp);                   // 删除堆顶元素，内部通过向下调整维护堆序}
}
int main()
{int arr[6] = { 30,56,25,15,70,10 };printf("排序之前：\n");for (int i = 0; i < 6; i++){printf("%d ", arr[i]);}printf("\n");HeapSort1(arr, 6);printf("排序之后：\n");for (int i = 0; i < 6; i++){printf("%d ", arr[i]);}printf("\n");return 0;
}

核心思路

借助堆存储元素：将待排序数组的所有元素依次插入堆中（构建堆）。
提取最值并重构数组：反复从堆顶提取最小值（或最大值），按顺序存入原数组，最终得到有序数组。

为什么说 “这不是真正的堆排序”？

真正的堆排序（如之前实现的HeapSort）是原地排序，直接在原数组上通过构建堆和调整堆实现排序，不需要额外的堆结构，空间复杂度为O(1)。

而这段代码的本质是：

额外创建了一个堆（HP sp），需要O(n)的额外空间存储元素；
排序过程依赖于堆的插入和删除操作，本质是 “利用堆的特性进行排序”，而非严格意义上的原地堆排序。

5.2 真正的堆排序算法

通过构建大堆并反复提取最大值来实现数组的升序排序。其核心特点是原地排序（无需额外空间存储堆），充分利用堆的特性高效完成排序。以下是详细解释：

一、核心思路

构建大堆：将待排序数组转换为大堆（每个父节点的值 ≥ 子节点的值），此时堆顶（数组首位）是最大值。

排序过程：

交换堆顶（最大值）与当前堆的最后一个元素，将最大值放到数组末尾（最终位置）。

缩小堆的范围（排除已排好的末尾元素），对新堆顶执行向下调整，重新维护大堆特性。

重复上述步骤，直到所有元素排序完成。

二、代码逐段解析

1. HeapSort 函数（排序核心）

void HeapSort(int* arr, int n)
{// 1. 构建大堆for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(arr, i, n);  // 从最后一个非叶子节点开始向下调整}// 2. 执行排序int end = n - 1;  // 标记当前堆的最后一个元素索引while (end > 0){// 交换堆顶（最大值）与当前堆的最后一个元素swap(&arr[0], &arr[end]);// 缩小堆范围（end减1），对新堆顶执行向下调整，重建大堆AdjustDown(arr, 0, end);end--;  // 下一次排序的堆范围更小}
}

（1）构建大堆

关键代码：for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)

计算最后一个非叶子节点的索引：(n-1-1)/2（等价于 (n-2)/2）。

数组从 0 开始，最后一个元素索引为 n-1，其父亲节点索引为 (n-1-1)/2。
从下往上调整：从最后一个非叶子节点开始，依次向上对每个节点执行 AdjustDown（向下调整），最终将整个数组转换为大堆。

为什么从非叶子节点开始？
叶子节点没有子节点，无需调整；非叶子节点可能破坏堆序，需通过向下调整使其子树满足大堆特性。

（2）排序过程

交换堆顶与末尾元素：swap(&arr[0], &arr[end])
大堆的堆顶（arr[0]）是当前堆中的最大值，交换后最大值被放到数组末尾（arr[end]），即它的最终位置。
向下调整重建大堆：AdjustDown(arr, 0, end)
交换后堆顶元素可能破坏堆序，需从堆顶开始向下调整，但此时堆的范围已缩小为 [0, end-1]（end 位置已排好序）。
循环缩小范围：end--
每次循环后，已排序的元素增加一个，堆的范围持续缩小，直到 end=0（所有元素排序完成）。

2. main 函数（测试逻辑）

int main()
{int arr[6] = { 30,56,25,15,70,10 };  // 待排序数组printf("排序之前：\n");for (int i = 0; i < 6; i++){printf("%d ", arr[i]);  // 输出：30 56 25 15 70 10}printf("\n");HeapSort(arr, 6);  // 调用堆排序函数printf("排序之后：\n");for (int i = 0; i < 6; i++){printf("%d ", arr[i]);  // 输出：10 15 25 30 56 70（升序）}printf("\n");return 0;
}

测试数组初始为 [30,56,25,15,70,10]，经过堆排序后变为升序数组 [10,15,25,30,56,70]。

三、关键辅助函数说明

AdjustDown（向下调整算法）
作用：当某个节点破坏大堆特性时，通过与左右子节点中较大的一个交换，逐步向下移动，直至子树重新满足大堆特性。
（代码中未显示实现，但核心逻辑是：选择左右子节点的最大值，与父节点比较，不满足大堆则交换并继续调整。）

swap（交换函数）
作用：交换两个元素的值，用于将堆顶最大值移动到数组末尾。

四、为什么大堆能实现升序排序？

大堆的堆顶始终是当前堆中的最大值，每次将最大值放到数组末尾，相当于 “从后往前” 依次确定最大元素的位置。

经过 n-1 次交换和调整后，数组从前往后依次递增，最终实现升序。

五、算法特性

时间复杂度：O(n+logn)（构建堆 O(n) + 排序阶段 O(nlog+n)）。
空间复杂度：O(1)（原地排序，仅需常数级额外空间）。
不稳定性：交换过程可能改变相等元素的相对顺序（例如 [2, 2, 1] 排序后可能变为 [1, 2, 2]，但两个 2 的原始顺序可能改变）。