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图卷积神经网络（GCN）学习笔记

news 2025/9/12 7:25:00

图卷积神经网络（GCN）学习笔记

开篇思考：为什么需要GCN？——从“数据结构痛点”出发

当我们处理图像时，CNN可以用3×3卷积核在规则像素网格上滑动提取特征；处理文本时，RNN能顺着单词的时序顺序捕捉上下文——但现实世界中，更多数据是“无规则结构”的：比如社交网络里每个人的好友数量不同，分子结构中原子的连接方式不规则，交通网络里路口的连通关系没有固定模式。

这些“节点+边”构成的图数据，传统深度学习模型束手无策：CNN的固定窗口用不上（没有网格），RNN的时序逻辑不适用（没有顺序）。这时候，图卷积神经网络（GCN） 应运而生——它的核心价值，就是为“不规则图数据”设计一套专属的特征提取逻辑，让模型能像处理图像、文本一样，理解图中的节点关系与属性，最终解决节点分类、边预测等任务。

一、基础认知：GCN与图数据的适配性

1. 图数据：GCN的核心处理对象

现实世界中，大量数据以“节点-边”的不规则结构存在，这类数据被称为图数据，典型场景包括：

社交网络：节点=用户，边=好友关系，节点属性=年龄/兴趣，边属性=亲密度
分子结构：节点=原子，边=化学键，节点属性=原子类型/电荷
知识图谱：节点=实体（如“苹果”“水果”），边=关系（如“属于”）
交通网络：节点=路口，边=道路连通性，节点属性=车流量/红绿灯状态

与图像（规则像素网格）、文本（有序单词序列）不同，图数据的节点邻居数量不固定，传统CNN/RNN难以直接处理，而GCN是专为这类不规则结构设计的模型。

2. GCN的核心目标：基于“邻居关联”更新节点特征

GCN的本质是利用图的拓扑结构（节点间连接关系），聚合邻居节点特征并更新自身特征，最终优化下游任务（如节点分类、边预测）。
举例：若节点A（喜欢看书）的邻居B（喜欢画画）、C（喜欢音乐），GCN会将B、C的兴趣特征与A的特征融合，让A的新特征包含“艺术相关”信息，从而更精准地预测A的兴趣类别。

二、核心原理：GCN的特征聚合逻辑（从基础到优化）

1. 第一步：邻接矩阵与自环——避免“丢失自身特征”

（1）邻接矩阵（A）的局限性

邻接矩阵A用于记录节点间的连接关系（A[i][j]=1表示节点i与j相连，0表示不相连），但默认对角线为0（不包含节点自身）。若直接用A聚合特征，会导致节点只参考邻居、忽略自身属性，出现“特征偏差”。

（2）加自环：保留自身信息

为解决上述问题，需构造带自环的邻接矩阵 $A~=A+I\tilde{A} = A + I$ （I为单位矩阵，对角线为1，其他为0）。此时每个节点聚合时会先纳入自身特征，再融合邻居特征，避免“只看别人、忘了自己”。

2. 第二步：度矩阵与归一化——解决“特征尺度失衡”

（1）度矩阵（ $D~\tilde{D}$ ）的定义

度矩阵 $D~\tilde{D}$ 是对角矩阵，对角线元素 $D~[i][i]\tilde{D}[i][i]$ 表示 $A~\tilde{A}$ 中节点i的“度”（即与节点i相连的节点数，含自环）。例如：节点i在 $A~\tilde{A}$ 中与3个邻居相连+1个自环，则 $D~[i][i]=4\tilde{D}[i][i]=4$ 。

（2）单归一化的不足：只考虑“自身邻居数”

若直接用 $A~×F\tilde{A} \times F$ （F为节点特征矩阵）聚合，邻居多的节点（如度=1000）会因聚合更多特征导致数值偏大，邻居少的节点（如度=2）数值偏小，特征尺度失衡。
此时需用度矩阵倒数左乘 $A~\tilde{A}$ （ $D~−1×A~\tilde{D}^{-1} \times \tilde{A}$ ），对每行做归一化（本质是求邻居特征的平均值），让不同节点的聚合特征尺度一致。

（3）双归一化：兼顾“自身与邻居的社交圈”

单归一化仅考虑“自身的邻居数”，未考虑“邻居的邻居数”。例如：节点A（度=2）看重邻居B（度=1000），但B的社交圈极广，A对B而言无足轻重——若只做行归一化，A会过度借鉴B的特征，导致预测偏差。

解决方案是双归一化： $D~−1/2×A~×D~−1/2\tilde{D}^{-1/2} \times \tilde{A} \times \tilde{D}^{-1/2}$ ，其中：

左乘 $D~−1/2\tilde{D}^{-1/2}$ ：对 $A~\tilde{A}$ 的行做“根号级归一化”，平衡自身邻居数的影响
右乘 $D~−1/2\tilde{D}^{-1/2}$ ：对 $A~\tilde{A}$ 的列做“根号级归一化”，平衡邻居社交圈的影响

双归一化后，节点间的关系权重会同时考虑双方的连接规模，避免“单方面看重”的偏差。例如：A（度=2）与B（度=1000）的连接权重为 $12×1×11000≈0.022\frac{1}{\sqrt{2}} \times 1 \times \frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 0.022$ ，A仅少量借鉴B的特征，不会被带偏。

3. GCN核心公式：整合全流程

结合“自环+双归一化+特征映射”，GCN的特征更新公式为：
$H(l+1)=σ(D~−1/2×A~×D~−1/2×H(l)×W(l))H^{(l + 1)} = \sigma\left( \tilde{D}^{-1/2} \times \tilde{A} \times \tilde{D}^{-1/2} \times H^{(l)} \times W^{(l)} \right)$

$H^{(l)}$ ：第l层节点特征矩阵（N×D，N=节点数，D=特征维度）
$A~=A+I\tilde{A} = A + I$ ：带自环的邻接矩阵
$D~−1/2×A~×D~−1/2\tilde{D}^{-1/2} \times \tilde{A} \times \tilde{D}^{-1/2}$ ：双归一化后的邻接矩阵，平衡特征尺度
$W^{(l)}$ ：可学习权重矩阵（全连接层参数），用于调整特征维度
$σ\sigma$ ：激活函数（如ReLU），引入非线性，提升模型表达能力