牛客周赛 Round 108（思维、位运算、DP、SOSDP）

牛客周赛 Round 108

A. ICPC World Finals

# Python
s, s1, s2, s3 = map(int, input().split())if s < 425 and (s1 < 60 or s2 < 60 or s3 < 60):print("YES")
else:print("NO")

// C++
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int main(){int s, a, b, c;cin >> s >> a >> b >> c;if(s < 425 && (a < 60 || b < 60 || c < 60)) cout << "YES" << endl;else cout << "NO" << endl;return 0;
}

B. 小苯的数字排序

排序后分奇偶输出即可。

# Python
T = int(input())for _ in range(T):n = int(input())a = [x for x in map(int, input().split())]a = sorted(a)for x in a:if x % 2 == 0:print(x, end=" ")for x in a:if x % 2 != 0:print(x, end=" ")print()

// C++
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int main(){int ncase;cin >> ncase;while(ncase--){int n;cin >> n;vector<int> a;for(int i = 1, x; i <= n; i++){cin >> x;a.push_back(x);}sort(a.begin(), a.end());for(auto x : a) if(x % 2 == 0) cout << x << " ";for(auto x : a) if(x % 2 == 1) cout << x << " ";cout << endl;}return 0;
}

C. 小苯的数字合并（思维）

思路：

假定从左到右依次处理每个元素对答案的贡献。

在处理到第 i 个元素时，由 $[1,i-1]$ 构成的“本质不同的数组“的个数为 $X$，$a_i$ 有两个选择：

1. 与 $[1,i-1]$ 构成的 “本质不同的数组“ 的最右边的元素合并，得到 $X$ 个“本质不同的数组“
2. 不与 $[1,i-1]$ 构成的 “本质不同的数组“ 的最右边的元素合并，以单独的形式放在最右边，得到 $X$ 个“本质不同的数组“

综上，在第 $i$ 个元素时，“本质不同的数组“ 个数为 $2X$。

综上，对于长度为 $n$ 的数组，通过合并得到的“本质不同的数组“ 个数为 $2^{n-1}$

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为什么是这样？

注意数据范围，$a_i>=1$，but，只有出现负数或者零的时候，才会出现通过合并出现本质相同的数组。

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$a_1$

$a_1,a_2$

$a_1,a_2,a_3$

$a_1,a_2+a_3$

---

$a_1$

$a_1+a_2$

$a_1+a_2，a_3$

$a_1+a_2+a_3$

显然，如果$a_1，a_2，a_3>=1$时，上述所有序列都是本质不同的。

code:

# Python
T = int(input())for _ in range(T):n = int(input())a = [x for x in map(int, input().split())]res = 1for i in range(n-1):res = res * 2 % 998244353print(res)

// C++
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 998244353using namespace std;ll a[5005];int main(){int ncase;cin >> ncase;while(ncase--){int n;cin >> n;for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];ll res = 1;for(int i = 1; i < n; i++) res = res * 2 % mod;cout << res << endl;}return 0;
}

D. 小苯的子序列权值（思维、位运算）

思路：

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首先，权值为偶数的子序列个数 = 全部子序列的个数 - 权值为奇数的子序列个数

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全部子序列的个数 = $C_n^1+C_n^2+...+C_n^n$ = $2^{n-1}-1$

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• 奇数 & 偶数 = 偶数

• 奇数 & 奇数 = 奇数

由上可知，权值为奇数的子序列中的所有元素都是奇数。

so，权值为奇数的子序列个数 = $C_X^1+C_X^2+...+C_X^X$ = $2^{X-1}-1$。（ $X$ 表示全集中奇数的个数）

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$res=2^{n-1}-1-(2^{X-1}-1)=2^{(n-1)}-2^{X-1}$

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code:

// C++
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 998244353
using namespace std;ll a[200005];int main(){int ncase;cin >> ncase;while(ncase--){int n;cin >> n;for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];ll cnt = 0;for(int i = 1; i <= n; i++) cnt += (a[i] % 2);ll res = 1, num = 1;for(int i = 1; i <= n; i++) res = res * 2 % mod;for(int i = 1; i <= cnt; i++) num = num * 2 % mod;res = (res - num + mod) % mod;cout << res << endl;}return 0;
}

E. 小苯的有趣数（DP）

思路：

$1$ 是「有趣的」数字，那么序列一定可以变形为 $1、1、1、...、1、sum(a)-(n-1)$。

故而，答案最小为 $n-1$。

故而，只需要判断答案是否为 $n$ 即可。

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综上，问题可以转化为，$sum(a)$ 是否可以拆分为 $n$ 个「有趣的」数字

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$n<=100,a_i<=200$，则 $sum(a)<=2000$。

打表可以发现，小于$2000$的「有趣的」数字只有$21$个。

Z={1,4,9,36,81,100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961,1521,1681}Z = \{1, 4, 9, 36, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 324, 400, 441, 484, 529, 900, 961, 1521, 1681\}Z={1,4,9,36,81,100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961,1521,1681} and $0$

---

设 $f[x][y]$ 表示把 $y$ 拆成 $x$ 个数是否可行。

1. 初始 $f[1][y]=1$，$y\in Z$

2. $f[x][y+z]|=f[x-1][y],x\in z$

code:

// C++
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int p[100] = {1, 4, 9, 36, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 324, 400, 441, 484, 529, 900, 961, 1521, 1681};int f[101][2005];int main() {for(int i = 1; i <= 20; i++) f[1][p[i-1]] = 1;for(int i = 2; i <= 100; i++){for(int j = 19; j >= 0; j--){for(int z = 2000-p[j]; z > 0; z--){f[i][z+p[j]] |= f[i-1][z];}}}int ncase;cin >> ncase;while(ncase--){int n;cin >> n;int sum = 0, x = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){cin >> x;sum += x;}cout << (f[n][sum] ? n : n-1) << endl;}return 0;
}

F. AND VS MEX (SOSDP)

思路：

参考出题人的讲解，不再做介绍。传送门

code:

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int maxn = 1e6 + 5;int f[maxn];int main(){int ncase;cin >> ncase;while(ncase--){int n;cin >> n;for(int i = 0; i <= n; i++) f[i] = (1LL << 31) - 1; // 初始化for(int i = 1, x; i <= n; i++){cin >> x;f[x] = x; // 初始化}for(int i = n; i >= 0; i--){for(int j = 0; j <= 20; j++){int x = i | (1LL << j);if(x > n) break;f[i] &= f[x];}}int res = n + 1;for(int i = 1; i <= n; i++){if(f[i] > i){res = i;break;}}cout << res << endl;}return 0;
}