矩阵的对称，反对称分解
文章目录
- 一、反对称矩阵
- 二、实对称矩阵的二次型
- 2.1 特征向量的正交性
- 2.2 施密特正交化
- 2.3 二次型
- 二、非对称矩阵的二次型
- 2.1 分解定理
- 2.2 二次型
一、反对称矩阵
反对称矩阵（Skew-symmetric matrix），又称反自伴矩阵，是一种特殊的方阵。它的定义是矩阵 A 等于它的负转置，即AT=−AA^T=−AAT=−A。
有着如下性质：
- 对角线元素全为0
- Aii = -Aii => Aii = 0
- 反对称矩阵取转置后仍为反对称矩阵；反对称矩阵的和仍为反对称矩阵
- 反对称矩阵的特征值要么是0，要么是纯虚数，并且以共轭对的形式出现
- 奇数阶反对称矩阵的行列式为零
- 因为det(A)=(−1)ndet(A)=−det(A)=>det(A)=0因为 det(A) = (-1)^{n}det(A) = -det(A) => det(A) = 0因为det(A)=(−1)ndet(A)=−det(A)=>det(A)=0
- 偶数阶反对称矩阵的行列式可能不为0
- 二次型恒为0
- xTAx=(xATx)T=−xTAx=>xTAx=0x^TAx = (xA^Tx)^T = -x^TAx => x^TAx = 0xTAx=(xATx)T=−xTAx=>xTAx=0
二、实对称矩阵的二次型
2.1 特征向量的正交性
设 A 是一个 n×n 的方阵。若 λ 是 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 x；μ 是 A 的另一个特征值，其对应的特征向量为 y。如果 λ != μ，则向量 x 和 y 相互正交，即它们的內积（点积）为0。
证明：
Ax=λx,Ay=μyAx=λxyT(Ax)=yT(λx)(Ay)Tx=λ(yTx)μyTx=λyTx因为λ≠μ,故yTx=0，证毕\begin{align} & Ax = \lambda x, Ay = \mu y\\ & Ax = \lambda x\\ & y^T (Ax) = y^T (\lambda x)\\ & (Ay)^T x = \lambda(y^Tx)\\ & \mu y^Tx = \lambda y^Tx\\ & 因为 \lambda \neq \mu, 故 y^Tx = 0，证毕 \end{align} Ax=λx,Ay=μyAx=λxyT(Ax)=yT(λx)(Ay)Tx=λ(yTx)μyTx=λyTx因为λ=μ,故yTx=0，证毕
2.2 施密特正交化
不同特征值的特征向量相互正交，那么如果一个特征值的几何重数大于1，那么我们是否可以选取出一些相互正交的特征向量呢？
显然是可以的，从该特征值的特征向量张成的特征空间中取出一组正交基即可。
具体求法可以先解出任意几个不相关的特征向量，然后做施密特正交化，这里略。
也就是说，对于实对称矩阵我们可以选出一组两两相互正交的特征向量。
2.3 二次型
因为实对称矩阵可以得到n个线性无关两两正交的特征向量，那么我们对特征向量再进一步单位化，就可以将二次型转换为标准型。
二、非对称矩阵的二次型
2.1 分解定理
如何研究非对称矩阵的二次型呢？
事实上，任意 n 阶方阵 A∈Rn×nA \in \mathbb{R}^{n \times n}A∈Rn×n 都可以唯一地分解为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和：
A=S+K其中:对称部分：S=12(A+AT),S=ST对称部分：K=12(A−AT),K=−KT显然成立，不做证明\begin{align} & A = S + K\\ & 其中:\\ &对称部分：S = \frac{1}{2}(A+A^T), S = S^T\\ &对称部分：K = \frac{1}{2}(A-A^T), K = -K^T\\ & 显然成立，不做证明 \end{align} A=S+K其中:对称部分：S=21(A+AT),S=ST对称部分：K=21(A−AT),K=−KT显然成立，不做证明
- 有趣的是，任意一个函数f(x) 都可以分解为一个奇函数和一个偶函数之和，形式类似。
性质：
- 分解是唯一的
- 证明：若 A = S1 + K1 = S2 + K2，则S1 - S2 = K2 - K1，左边对称，右边反对称，两边既是对称又是反对称，那么两边都是0
2.2 二次型
一、中已经介绍反对称矩阵的二次型恒为0，那么我们发现非对称矩阵的二次型仅取决于其分解的对称部分，研究方法和二、中的内容类似。