椭圆曲线群运算与困难问题

一、引言

在上一节中，我们介绍了椭圆曲线的基本方程和点运算。
本节我们将更深入地探讨椭圆曲线上的 群结构，并介绍 ECC 安全性的核心 —— 椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）。

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二、椭圆曲线群运算

椭圆曲线上的点（包括无穷远点 $O$）构成一个 有限阿贝尔群。
这意味着它满足以下运算性质：

1. 封闭性：任意两个曲线点 $P,Q$ 相加，结果仍是曲线上的点 $R$。
2. 结合律：$(P+Q)+R=P+(Q+R)$。
3. 单位元：无穷远点 $O$ 是加法单位元，$P+O=P$。
4. 逆元：对于任意点 $P=(x,y)$，其逆元是 $-P=(x,-y)$。

在这种群结构下，我们可以定义 点倍乘：
$$kP=P+P+\cdots +P(k\text{ 次})$$

点倍乘是 ECC 的核心操作，用于生成公钥和计算密钥协商。

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三、困难问题

1. 离散对数问题（Discrete Logarithm Problem, DLP）

在模素数 $p$ 的乘法群中：

• 已知 $g^k\equiv h(\mathrm{mod}p)$，求 $k$ 很困难。

2. 椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）

在椭圆曲线上：

• 已知 $P$ 和 $Q=kP$，求 $k$ 非常困难。

这就是 ECC 安全性的数学基础。

3. 相关困难问题

• 计算 Diffie-Hellman 问题（CDH）：给定 $(P,aP,bP)$，计算 $abP$。
• 判定 Diffie-Hellman 问题（DDH）：判断 $(P,aP,bP,cP)$ 是否满足 $c=ab$。

在许多协议中，我们假设 ECDLP/CDH/DDH 是计算上不可行的。

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四、为什么 ECDLP 难？

• 经典算法：

  • 暴力搜索：复杂度 $O(n)$，对 256 位曲线来说不可行。
  • Pohlig–Hellman 算法：在群阶含大素因子时仍然困难。
  • Pollard’s Rho 算法：复杂度 $O(\sqrt{n})$，对大规模参数仍不可行。

• 量子算法：

  • Shor 算法能在量子计算机上解决 ECDLP。
  • 这也是 后量子密码学 兴起的重要原因。

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五、Go 小实验：点倍乘与离散对数

我们实现一个简化版的椭圆曲线（定义在小有限域上），演示：

1. 给定 $P$ 和 $k$，容易算出 $Q=kP$。
2. 给定 $P$ 和 $Q$，想求 $k$ 就只能暴力搜索（困难问题的直观演示）。

package mainimport ("fmt""math/big"
)// 椭圆曲线: y^2 = x^3 + ax + b mod p
var p = big.NewInt(17)
var a = big.NewInt(2)
var b = big.NewInt(2)// 点结构
type Point struct {x, y *big.Intinf  bool
}// 取模
func mod(v *big.Int) *big.Int {r := new(big.Int).Mod(v, p)if r.Sign() < 0 {r.Add(r, p)}return r
}// 逆元
func modInverse(v *big.Int) *big.Int {return new(big.Int).ModInverse(v, p)
}// 点加法
func add(P, Q Point) Point {if P.inf {return Q}if Q.inf {return P}var m *big.Intif P.x.Cmp(Q.x) == 0 && P.y.Cmp(Q.y) == 0 {// P == Qnum := new(big.Int).Add(new(big.Int).Mul(big.NewInt(3), new(big.Int).Mul(P.x, P.x)), a)den := new(big.Int).Mul(big.NewInt(2), P.y)m = new(big.Int).Mul(num, modInverse(den))} else {num := new(big.Int).Sub(Q.y, P.y)den := new(big.Int).Sub(Q.x, P.x)m = new(big.Int).Mul(num, modInverse(den))}m = mod(m)xr := mod(new(big.Int).Sub(new(big.Int).Sub(new(big.Int).Mul(m, m), P.x), Q.x))yr := mod(new(big.Int).Sub(new(big.Int).Mul(m, new(big.Int).Sub(P.x, xr)), P.y))return Point{xr, yr, false}
}// 点倍乘: kP
func mul(P Point, k int64) Point {R := Point{nil, nil, true} // 无穷远点Q := Pfor i := 0; i < int(k); i++ {R = add(R, Q)}return R
}func main() {// 基点 PP := Point{big.NewInt(5), big.NewInt(1), false}// 选择私钥 kk := int64(7)Q := mul(P, k)fmt.Printf("私钥 k=%d\n", k)fmt.Printf("Q = kP = (%v,%v)\n", Q.x, Q.y)// 离散对数问题: 已知 P 和 Q，暴力搜索 kfound := -1for i := 1; i < 20; i++ {if q := mul(P, int64(i)); q.x.Cmp(Q.x) == 0 && q.y.Cmp(Q.y) == 0 {found = ibreak}}fmt.Printf("暴力破解得到 k=%d\n", found)
}

运行结果示例：

私钥 k=7
Q = kP = (0,6)
暴力破解得到 k=7

在小规模曲线下，暴力搜索可行；但在真实曲线（如 secp256k1，群阶约 $2^{256}$）中，暴力搜索完全不可行，这就是 ECC 的安全性来源。

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六、总结

本文介绍了椭圆曲线的群运算性质，并重点解释了 椭圆曲线离散对数问题（ECDLP） 的困难性。
ECC 的安全性来自于：

• 点倍乘容易
• 离散对数困难

这使得 ECC 能够在保持较短密钥长度的同时提供高安全性。