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数列寻方：等差数列和为完全平方数

news 2025/8/30 12:57:59

破题点：看到“连续自然数和=完全平方数”，瞬间唤醒等差数列求和公式与平方数的模特征！

📜 问题描述

已知 $\cdots + n$ 是一个完全平方数（即某个整数的平方），下列选项中正确的是（　）．
A. $n$ 的取值有无数个　　　B. $n$ 的最小值小于 15
C. $n$ 为奇数　　　　　　　D. $\equiv 4 \pmod{9}$

🔍 破题思路

联想等差数列求和公式：
从5到 $n$ 的连续整数和可表示为 $(首项+末项)×项数2\dfrac{(\text{首项} + \text{末项}) \times \text{项数}}{2}$ ．
项数为 $n - 4$ ，故和 $\dfrac{(5+n)(n-4)}{2}$ ．

关联平方数性质：

设 $S = m^2$ （ $m$ 为整数），即 $(n+5)(n−4)2=m2\dfrac{(n+5)(n-4)}{2} = m^2$ ．
💡妙招：看到乘积=平方数的结构，果断变形为二元方程，并尝试模分析缩小解的范围！

🧮 关键推导

Step 1：构建方程并变形

$n2+n−20=2m2\dfrac{(n+5)(n-4)}{2} = m^2 \implies n^2 + n - 20 = 2m^2$
两边乘4配方：
$(2n+1)2−81=8m24n^2 + 4n - 80 = 8m^2 \implies (2n+1)^2 - 81 = 8m^2$
移项得：
$(2n+1)2−8m2=81（关键方程！）(2n+1)^2 - 8m^2 = 81 \quad \text{（关键方程！）}$

Step 2：模9分析锁定突破口（⚠️灵魂操作）

对关键方程模9处理：
$(2n+1)2−8m2≡0(mod9)(2n+1)^2 - 8m^2 \equiv 0 \pmod{9}$
知识点：平方数模9只能取 ${0, 1, 4, 7\}$ ．

若 $(2n+1)2≡0(mod9)(2n+1)^2 \equiv 0 \pmod{9}$ ，则 $8m2≡0(mod9)8m^2 \equiv 0 \pmod{9}$ → $m2≡0(mod9)m^2 \equiv 0 \pmod{9}$ → $m$ 和 $2 n + 1$ 均被3整除．
其他情况同理，最终发现唯一可能：
$(2n+1)2≡0(mod9),m2≡0(mod9)(2n+1)^2 \equiv 0 \pmod{9}, \quad m^2 \equiv 0 \pmod{9}$
即 $\mid (2n+1)$ 且 $\mid m$ ．

Step 3：降阶为佩尔方程（💡神来之笔）

令 $\dfrac{2n+1}{3}$ , $\dfrac{m}{3}$ ，代入方程：
$x2−8y2=1(3x)^2 - 8(3y)^2 = 81 \implies x^2 - 8y^2 = 1$
佩尔方程（Pell Equation）出场！其解可表示为：
${xt=(3+22)t+(3−22)t2yt=(3+22)t−(3−22)t42\begin{cases} x_t = \dfrac{ (3 + 2\sqrt{2})^t + (3 - 2\sqrt{2})^t }{2} \\ y_t = \dfrac{ (3 + 2\sqrt{2})^t - (3 - 2\sqrt{2})^t }{4\sqrt{2}} \end{cases}$

冷知识：此解的结构类似斐波那契数列，是线性递推的“表亲”．

Step 4：求解并验证选项

最小解（ $t = 1$ ）： $x_1 = 3$ → $\dfrac{9 \times 3 - 1}{2} = 13$ ．

✅ 验证：

$5+6+⋯+13=81=925+6+\cdots+13=81=9^2$ ，且 $13 < 15$ （B正确）．
通解： $\dfrac{9x_t - 1}{2}$ 有无穷多组（A正确）．
奇偶性： $t = 2$ 时 $x_2=17$ → $n = 76$ （偶数），C错误．
模9性质：由 $\equiv 0 \pmod{9}$ → $\equiv 4 \pmod{9}$ （D正确）．