除自身以外数组的乘积是什么意思

“除自身以外数组的乘积”指的是对于一个给定数组 nums，计算一个新的数组 answer，其中 answer中的每个元素 answer[i]等于原始数组 nums中除了 nums[i]这个元素之外，所有其他元素的乘积。

为了帮你直观理解，我们来看一个例子。假设有一个数组 nums = [1, 2, 3, 4]，那么：

• 对于 i=0（元素是1），除自身外的乘积就是 2 * 3 * 4 = 24，所以 answer[0] = 24。

• 对于 i=1（元素是2），除自身外的乘积就是 1 * 3 * 4 = 12，所以 answer[1] = 12。

• 对于 i=2（元素是3），除自身外的乘积就是 1 * 2 * 4 = 8，所以 answer[2] = 8。

• 对于 i=3（元素是4），除自身外的乘积就是 1 * 2 * 3 = 6，所以 answer[3] = 6。

因此，最终得到的 answer数组就是 [24, 12, 8, 6]。

⚠️ 计算时的注意事项

1. ​不能使用除法​：题目明确要求不能使用除法运算。最直观的想法可能是先算出所有元素的 total_product 总乘积，然后对于每个位置，answer[i] = total_product / nums[i]。但这种方法有两个问题：一是题目禁止使用除法；二是如果数组中存在元素 0，那么 total_product可能就是 0，除法会导致除以零的错误或需要复杂的特殊判断。

2. ​处理零值元素​：如果数组中有一个 0，那么除了这个零值元素自身的位置外，其他所有位置的乘积都会是 0（因为其他位置的计算都会乘上这个 0），而零值元素自身位置对应的乘积则是其他所有非零元素的乘积。如果数组中有两个或更多的 0，那么所有位置的乘积都将为 0。例如 nums = [-1,1,0,-3,3]，输出是 [0,0,9,0,0]。

3. ​时间与空间复杂度​：题目要求算法的时间复杂度必须为 O(n)，并且鼓励我们尝试使用 O(1)的额外空间复杂度（不包括存放结果的输出数组）来完成。

💡 常见的解决方法

为了解决这个问题，同时满足上述要求，最常用且高效的方法是“前后缀分解”（Prefix and Suffix Product）。

其核心思想是将每个位置 i的答案 answer[i]拆分为两部分：

• ​前缀乘积 (Prefix Product)​​：nums[i]​左边所有元素的乘积，记为 left[i]。

• ​后缀乘积 (Suffix Product)​​：nums[i]​右边所有元素的乘积，记为 right[i]。

然后，answer[i]就等于 left[i] * right[i]。

这种方法通过两次遍历（一次从左到右计算前缀积，一次从右到左计算后缀积）就能得到结果，完美满足了 O(n)的时间复杂度要求。

空间优化版本

上述方法需要两个额外的数组（left和 right）来存储前缀和后缀乘积，空间复杂度为 O(n)。我们可以进行优化，只用一个输出数组 answer：

1. 第一次遍历（从左到右）：将每个位置 i的前缀乘积直接存入 answer[i]。

2. 第二次遍历（从右到左）：用一个变量 suffix动态记录当前元素的后缀乘积，然后将其与 answer[i]中已经存储的前缀乘积相乘，得到最终结果，同时更新 suffix。

这样，除了输出数组和几个变量，我们没有使用额外的空间，将空间复杂度优化到了 O(1)。

希望这个解释能帮助你完全理解“除自身以外数组的乘积”的含义和解决方法！