lanczos算法的核心——Ritz向量的计算（主要思想为反向映射）

在 Lanczos 算法中，“将得到的特征向量映射回原始空间（即乘以V）得到的近似特征向量” 这一步，通常是指在三对角矩阵（T）的特征向量求解完成后，将其转换回原始矩阵（A）的特征向量。具体实现步骤如下：

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实现步骤

1. Lanczos 过程：
   通过 Lanczos 迭代，你会得到一个三对角矩阵 $T_k$（大小为 $k\times k$）和一个正交矩阵$V_k$（大小为 $n\times k$），其中 $V_k$ 的列是 Lanczos 过程生成的正交基向量。

2. 求解三对角矩阵的特征向量：
   对 $T_k$ 进行特征分解，得到其特征值 ${\lambda }_i$ 和对应的特征向量 $s_i$（即 $T_k{s}_i={\lambda }_i{s}_i$）。

3. 映射回原始空间：
   将 $T_k$ 的特征向量 $s_i$ 映射回原始空间，得到原始矩阵 $A$ 的近似特征向量：
   $$q_i=V_k{s}_i$$
   这里的 $q_i$ 就是原始矩阵 $A$ 的近似特征向量。

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数学原理说明

这一步的数学基础在于 Lanczos 算法建立的近似关系：
$$A\approx V_k{T}_k{V}_k^T$$

当我们对 $T_k$ 进行特征分解 $T_k=S\Lambda S^T$ 时，代入上式得到：
$$A\approx V_{k}S\Lambda S^T{V}_k^T=(V_{k}S)\Lambda (V_{k}S{)}^T$$

这说明 $V_{k}S$ 的列向量（即 Ritz 向量）近似是 $A$ 的正交特征向量，对应的特征值就是 $\Lambda$ 中的特征值。

在代码中的实现

在您的代码中，这一步体现在：

ritz_vectors = (W.T @ Q[:, :num_ritz_vectors]).T

其中：

• W.T 对应 $V_k^T$（但需要注意存储方式）
• Q 对应 $S$（T 的特征向量矩阵）
• Q[:, :num_ritz_vectors] 选取前 k 个特征向量
• 矩阵乘法实现映射：$V_k{s}_i$