当前位置：首页 > news >正文

第2题 - 登山鞋（C++实现）

news 2025/8/24 15:00:23

第2题 - 登山鞋（C++实现）

题目内容

小明正在玩一个游戏：
游戏中有一排山峰，他需要从左到右依次经过 $n$ 座山，其中第 $i$ 座山的高度为 $h_i$。

在游戏开始之前，小明需要装备一双 登山鞋。假设鞋子的 耐久度 为 $x$，那么对于任意相邻的两座山，如果高度差 $|h_{i+1}-h_i| > x$，小明就无法攀爬过去。

小明在游戏开始前，可以进行 $K$ 次操作，每次可以把任意一座山的高度改为任意非负整数。

问题：小明能够装备的登山鞋的 最低耐久度 可以是多少？

输入描述

第一行：一个正整数 $T$，表示数据组数。
对于每组数据：
- 第一行输入两个正整数 $n, K$，表示山的数量和小明购买的操作次数。
- 第二行输入 $n$ 个整数，表示每座山的高度。

输出描述

对于每组数据，输出一个整数，表示小明经过若干次操作之后，可以装备的登山鞋的 最低耐久度。

样例

输入

输出

0
2
1

样例解释

第一组：只有一座山，不需要鞋子，答案是 0。
第二组：可以把高度改为 [1,2,4,6,8]，那么相邻高度差最大为 2。
第三组：可以改为 [6,6,7,8,9]，那么相邻高度差最大为 1。

算法思路

关键观察

修改最多 $K$ 个位置，等价于 至少保留 $n-K$ 个位置 不变。
被修改的位置可以随意设置，用来“补”出来满足条件。

因此问题转化为：
给定一个耐久度 $x$，能否保留至少 $n-K$ 个位置，使得相邻保留位置 $i,j$ 满足：

$|h_j - h_i| \leq (j-i) \times x$

这样就能通过“线性插值”把中间修改的山峰补出来。

判定函数（feasible）

类似 最长上升子序列（LIS）的 DP 思路：
- 设 dp[i] 表示以第 $i$ 座山结尾的“可保留子序列”最大长度。
- 转移条件：
  如果 $|h[i]-h[j]| \leq (i-j)\times x$，则 dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)。
如果最后的最大长度 ≥ $n-K$，说明耐久度 $x$ 可行。

时间复杂度：单次 DP 为 $O(n^2)$。

二分答案

耐久度 $x$ 的最小值单调：
- 如果 $x$ 可行，那么更大的 $x$ 也一定可行。
用二分法找到最小的 $x$。
上界 $R$ 可以取 相邻差的最大值（不修改的情况下必然可行）。

整体复杂度：

二分次数 $O(\log R)$
每次判定 $O(n^2)$
总复杂度 $O(n^2 \log R)$

C++代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;// 判定函数：给定耐久度 x，是否能保留至少 n-K 个位置
bool feasible(const vector<int>& h, int n, int K, int x) {int need = n - K;               // 至少需要保留的数量vector<int> dp(n, 1);           // dp[i]：以 i 结尾的可保留子序列长度int best = 1;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {// 如果相邻两点满足 |h[i]-h[j]| <= (i-j)*xif (abs(h[i] - h[j]) <= x * (i - j)) {dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);}}best = max(best, dp[i]);if (best >= need) return true; // 提前结束}return best >= need;
}int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);int T;cin >> T;while (T--) {int n, K;cin >> n >> K;vector<int> h(n);for (int i = 0; i < n; i++) cin >> h[i];// 边界情况：只有一座山if (n <= 1) {cout << 0 << "\n";continue;}// 计算最大相邻差，作为二分上界int R = 0;for (int i = 1; i < n; i++) {R = max(R, abs(h[i] - h[i - 1]));}int l = 0, r = R;while (l < r) {int mid = (l + r) / 2;if (feasible(h, n, K, mid)) r = mid;else l = mid + 1;}cout << l << "\n";}return 0;
}