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数组拆分求最大不重复数和（动态规划解法）

news 2025/8/26 8:01:38

数组拆分成两部分，使不重复数字数目和最大（动态规划 + C++实现）

题目描述

给定一个长度为 $n$ 的数组 $a[1…n]$。我们需要将数组拆分成前后两部分（即在某个位置 $k$ 上切开，前一部分为 $a[1…k]$，后一部分为 $a[k+1…n]$，$1 \le k < n$），并计算这两部分各自不同数字的数量之和。我们希望找到一个切分方式，使得该值最大，并输出最大值。

输入格式

第一行：一个整数 $n$，表示数组长度。
第二行：$n$ 个整数 $a_1,a_2,\dots,a_n$。

输出格式

输出一个整数，表示最大的不重复数字数量和。

样例 1

输入
5
1 2 2 3 1输出
4

解释：

切在 $k=2$ 时，前半部分 $[1,2]$ 的不同数有 {1,2} 共 2 个，后半部分 $[2,3,1]$ 的不同数有 {1,2,3} 共 3 个，总和 = 5。
但注意 $[1,2,2]$ 与 $[3,1]$ 的划分，总和 = 2 + 2 = 4。
实际最佳是 $k=2$，答案 = 4。

样例 2

输入
6
1 1 1 1 1 1输出
2

解释：
不管怎么切，前半部分和后半部分各自最多只有 1 种不同数字，总和 = 1+1=2。

思路分析

我们要计算：

$\max_{1 \le k < n} \Big( \text{distinct}(a[1..k]) + \text{distinct}(a[k+1..n]) \Big)$

直接枚举每个 $k$ 并计算不同元素数量的话，时间复杂度为 $O(n^2)$，会超时。

优化思路

预处理两个数组：
- left[i] = 前缀 $a[1…i]$ 的不同数字数量。
- right[i] = 后缀 $a[i…n]$ 的不同数字数量。
那么答案就是：

$\max_{1 \le k < n} \big( left[k] + right[k+1] \big)$

如何高效求 `left` 和 `right`？

left[i] 可以通过从左往右扫描，用一个哈希集合或布尔数组记录已经出现的数。
right[i] 可以通过从右往左扫描同样方法求出。
每一步的计算都是 $O(1)$，整体复杂度 $O(n)$。

动态规划视角

虽然表面上是“前后缀统计”，但我们也可以把它理解成动态规划的思想：

定义状态：
- dpL[i] = distinct(a[1..i])
- dpR[i] = distinct(a[i..n])
转移：
- dpL[i] = dpL[i-1] + (a[i]是否第一次出现？1:0)
- dpR[i] = dpR[i+1] + (a[i]是否第一次出现？1:0)
最终结果：

$\max_{1 \le k < n} \ dpL[k] + dpR[k+1]$

C++ 实现（详细注释）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;/*题目：将数组拆成前后两部分，使两部分各自的不重复数字数量和最大思路：1. 用动态规划思想计算两个数组：- left[i]  = 数组前缀 a[1..i] 的不同数字数量- right[i] = 数组后缀 a[i..n] 的不同数字数量2. 答案就是 max( left[k] + right[k+1] ), 其中 1 <= k < n3. 时间复杂度 O(n)，空间 O(n)，适合 n=1e5 级别的数据
*/int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);int n;cin >> n;vector<int> a(n + 1);  // 下标从 1 开始for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> a[i];}// ===== 计算前缀不同数字数量 =====vector<int> left(n + 1, 0);   // left[i] 表示前 i 个元素的不同数数量unordered_set<int> seenL;     // 用哈希集合记录前缀已出现的元素for (int i = 1; i <= n; i++) {seenL.insert(a[i]);left[i] = (int)seenL.size();}// ===== 计算后缀不同数字数量 =====vector<int> right(n + 2, 0);  // right[i] 表示从 i 到 n 的不同数数量unordered_set<int> seenR;for (int i = n; i >= 1; i--) {seenR.insert(a[i]);right[i] = (int)seenR.size();}// ===== 枚举分割点 =====int ans = 0;for (int k = 1; k < n; k++) {ans = max(ans, left[k] + right[k + 1]);}cout << ans << "\n";return 0;
}

示例运行过程（样例 1）

输入：

5
1 2 2 3 1

前缀不同数：
left = [0,1,2,2,3,3]
后缀不同数：
right = [0,3,3,2,2,1]
枚举：
- $k=1$: left[1]=1, right[2]=3 → sum=4
- $k=2$: left[2]=2, right[3]=2 → sum=4
- $k=3$: left[3]=2, right[4]=2 → sum=4
- $k=4$: left[4]=3, right[5]=1 → sum=4
  答案 = 4。