概率论基础教程第5章 连续型随机变量(二)

5.3 均匀随机变量

定义与性质

均匀随机变量是最简单的连续型随机变量，其概率密度函数在整个定义区间内为常数。

(0,1)区间

如果随机变量 $X$ 的密度函数为：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& 0<x<1\\ 0& \text{其他}\end{array}\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

则称 $X$ 在 $(0,1)$ 区间上均匀分布。

验证：

• $f(x)\ge 0$ 对所有 $x$ 成立
• ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{1}1\mathrm{d}x=1$

一般区间

更一般地，如果随机变量 $X$ 的密度函数为：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\beta -\alpha }& \alpha <x<\beta \\ 0& \text{其他}\end{array}\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

则称 $X$ 在区间 $(\alpha ,\beta )$ 上均匀分布。

直观理解：

• 由于 $f(x)$ 在 $(\alpha ,\beta )$ 内为常数，$X$ 在区间内任何位置取值的概率密度相同

• 对任意 $a,b$ 满足 $\alpha \le a<b\le \beta$：
  P{a⩽X⩽b}=∫abf(x) dx=b−aβ−α P\{a \leqslant X \leqslant b\} = \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = \frac{b-a}{\beta-\alpha} P{a⩽X⩽b}=∫ab​f(x)dx=β−αb−a​

• 这表明 $X$ 属于 $(\alpha ,\beta )$ 的任一子区间的概率等于该子区间长度与总区间长度的比值

分布函数

区间 $(\alpha ,\beta )$ 上均匀随机变量的分布函数为：
$$F(a)=\{\begin{array}{ll}0& a\le \alpha \\ \frac{a-\alpha }{\beta -\alpha }& \alpha <a<\beta \\ 1& a\ge \beta \end{array}$$

期望

$$\begin{array}{rl}E[X]& ={\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{x}{\beta -\alpha }\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{\beta -\alpha }{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_{\alpha }^{\beta }\\ & =\frac{{\beta }^2-{\alpha }^2}{2(\beta -\alpha )}\\ & =\frac{(\beta -\alpha )(\beta +\alpha )}{2(\beta -\alpha )}\\ & =\frac{\beta +\alpha }{2}\end{array}$$

方差

首先计算 $E[X^2]$：
$$\begin{array}{rl}E[X^2]& ={\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{x^2}{\beta -\alpha }\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{\beta -\alpha }{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_{\alpha }^{\beta }\\ & =\frac{{\beta }^3-{\alpha }^3}{3(\beta -\alpha )}\\ & =\frac{(\beta -\alpha )({\beta }^2+\alpha \beta +{\alpha }^2)}{3(\beta -\alpha )}\\ & =\frac{{\beta }^2+\alpha \beta +{\alpha }^2}{3}\end{array}$$

然后计算方差：
$$\begin{array}{rl}Var(X)& =E[X^2]-(E[X]{)}^2\\ & =\frac{{\beta }^2+\alpha \beta +{\alpha }^2}{3}-{\left(\frac{\beta +\alpha }{2}\right)}^2\\ & =\frac{4({\beta }^2+\alpha \beta +{\alpha }^2)-3({\beta }^2+2\alpha \beta +{\alpha }^2)}{12}\\ & =\frac{4{\beta }^2+4\alpha \beta +4{\alpha }^2-3{\beta }^2-6\alpha \beta -3{\alpha }^2}{12}\\ & =\frac{{\beta }^2-2\alpha \beta +{\alpha }^2}{12}\\ & =\frac{(\beta -\alpha {)}^2}{12}\end{array}$$

例题

例 3b：如果 $X$ 服从 $(0,10)$ 上的均匀分布，计算：

• (a) P{X<3}P\{X < 3\}P{X<3}：
  P{X<3}=∫03110 dx=310 P\{X < 3\} = \int_{0}^{3} \frac{1}{10} \, \mathrm{d}x = \frac{3}{10} P{X<3}=∫03​101​dx=103​

• (b) P{X>6}P\{X > 6\}P{X>6}：
  P{X>6}=∫610110 dx=410 P\{X > 6\} = \int_{6}^{10} \frac{1}{10} \, \mathrm{d}x = \frac{4}{10} P{X>6}=∫610​101​dx=104​

• © P{3<X<8}P\{3 < X < 8\}P{3<X<8}：
  P{3<X<8}=∫38110 dx=510=12 P\{3 < X < 8\} = \int_{3}^{8} \frac{1}{10} \, \mathrm{d}x = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} P{3<X<8}=∫38​101​dx=105​=21​

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例 3c：某乘客在 7:00 到 7:30 之间到达车站的时间服从均匀分布，求：

• (a) 等车时间不超过 5 分钟的概率

  假设公交车在 7:00, 7:15, 7:30 等时间点发车，等车时间不超过 5 分钟意味着乘客在 7:10-7:15 或 7:25-7:30 之间到达：
  P{等车时间≤5}=P{10<X<15}+P{25<X<30}=∫1015130 dx+∫2530130 dx=530+530=13 \begin{aligned} P\{\text{等车时间} \leq 5\} &= P\{10 < X < 15\} + P\{25 < X < 30\} \\ &= \int_{10}^{15} \frac{1}{30} \, \mathrm{d}x + \int_{25}^{30} \frac{1}{30} \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{5}{30} + \frac{5}{30} = \frac{1}{3} \end{aligned} P{等车时间≤5}​=P{10<X<15}+P{25<X<30}=∫1015​301​dx+∫2530​301​dx=305​+305​=31​​

• (b) 等车时间超过 10 分钟的概率

  等车时间超过 10 分钟意味着乘客在 7:00-7:05 或 7:15-7:20 之间到达：
  P{等车时间>10}=P{0<X<5}+P{15<X<20}=∫05130 dx+∫1520130 dx=530+530=13 \begin{aligned} P\{\text{等车时间} > 10\} &= P\{0 < X < 5\} + P\{15 < X < 20\} \\ &= \int_{0}^{5} \frac{1}{30} \, \mathrm{d}x + \int_{15}^{20} \frac{1}{30} \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{5}{30} + \frac{5}{30} = \frac{1}{3} \end{aligned} P{等车时间>10}​=P{0<X<5}+P{15<X<20}=∫05​301​dx+∫1520​301​dx=305​+305​=31​​

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例 3d：贝特朗悖论

考虑随机地从圆中取一根弦，该弦的长度大于该圆内接正三角形的边长的概率是多大？

问题：这个概率取决于"随机"的定义方式。

方法一：按弦到圆心的距离

• 弦的位置由它到圆心的距离 $D$ 决定，$D\in [0,r]$

• 当 $D<r/2$ 时，弦长 > 内接正三角形边长

• 假设 $D$ 在 $[0,r]$ 上均匀分布：
  $$P\left\{D<\frac{r}{2}\right\}=\frac{r/2}{r}=\frac{1}{2}$$

方法二：按弦与切线的夹角

• 弦的位置由它与切线的夹角 $\theta$ 决定，$\theta \in [0^{\circ },180^{\circ }]$

• 当 $\theta \in [60^{\circ },120^{\circ }]$ 时，弦长 > 内接正三角形边长

• 假设 $\theta$ 在 $[0^{\circ },180^{\circ }]$ 上均匀分布：
  P{60<θ<120}=120−60180=13 P\{60 < \theta < 120\} = \frac{120 - 60}{180} = \frac{1}{3} P{60<θ<120}=180120−60​=31​

[!TIP]
贝特朗悖论说明：在概率论中，"随机"的定义必须明确。不同的随机机制可能导致不同的概率结果。

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5.4 正态随机变量

定义

如果随机变量 $X$ 的密度函数为：
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-(x-\mu {)}^2/2{\sigma }^2}-\infty <x<\infty$$

则称 $X$ 是服从参数为 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$ 的正态分布的随机变量，简称为正态随机变量。

特性：

• 密度函数是一条关于 $\mu$ 对称的钟形曲线
• $\mu$ 是分布的均值（期望）
• ${\sigma }^2$ 是分布的方差
• $\sigma$ 是标准差

密度函数

需要验证：
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-(x-\mu {)}^2/2{\sigma }^2}\mathrm{d}x=1$$

令 $y=(x-\mu )/\sigma$，则：
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-(x-\mu {)}^2/2{\sigma }^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-y^2/2}\mathrm{d}y$$

计算：
$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-y^2/2}\mathrm{d}y\\ I^2& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-y^2/2}\mathrm{d}y{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2/2}\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-(x^2+y^2)/2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$

[!IMPORTANT]

极坐标变换技巧复习

1. 坐标变换公式

笛卡尔坐标	极坐标	关系
$x$	$r\cos \theta$	$x=r\cos \theta$
$y$	$r\sin \theta$	$y=r\sin \theta$
$x^2+y^2$	$r^2$	$r=\sqrt{x^2+y^2}$
-	$\theta$	$\theta =\arctan (y/x)$（需考虑象限）

2. 面积元素变换（关键！）

在极坐标下，面积元素发生变化：
$$\boxed{dxdy=rdrd\theta }$$

• 几何解释：在极坐标中，一个小区域的面积近似为扇形，其面积 = 半径 × 弧长 = $r\cdot (rd\theta )\cdot dr=rdrd\theta$

• 数学解释：通过雅可比行列式计算：
  $$J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \theta }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right|=r({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=r$$
  因此 $dxdy=|J|drd\theta =rdrd\theta$

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积分区域转换

笛卡尔区域	极坐标区域
整个平面 ${\mathbb{R}}^2$	$0\le r<\infty$, $0\le \theta <2\pi$
上半平面 $y\ge 0$	$0\le r<\infty$, $0\le \theta \le \pi$
第一象限 $x\ge 0,y\ge 0$	$0\le r<\infty$, $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$
圆盘 $x^2+y^2\le a^2$	$0\le r\le a$, $0\le \theta <2\pi$

使用极坐标变换 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$：
$$\begin{array}{rl}{I}^2& ={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{2\pi }{e}^{-r^2/2}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r\\ & =2\pi {\int }_0^{\infty }r{e}^{-r^2/2}\mathrm{d}r\\ & =-2\pi e^{-r^2/2}{|}_0^{\infty }\\ & =2\pi \end{array}$$

[!NOTE]

计算角度积分：
$${\int }_0^{2\pi }d\theta =\theta {|}_0^{2\pi }=2\pi -0=2\pi$$

所以：
$$I^2=2\pi {\int }_0^{\infty }r{e}^{-r^2/2}dr$$

现在需要计算：
$${\int }_0^{\infty }r{e}^{-r^2/2}dr$$

这是一个典型的可以通过变量替换解决的积分。

令 $u=\frac{r^2}{2}$，则：

• $du=rdr$（因为 $\frac{du}{dr}=r$）
• 当 $r=0$ 时，$u=0$
• 当 $r\to \infty$ 时，$u\to \infty$

代入得：
$${\int }_0^{\infty }r{e}^{-r^2/2}dr={\int }_0^{\infty }{e}^{-u}du$$

这个积分很简单：
$${\int }_0^{\infty }{e}^{-u}du=-e^{-u}{|}_0^{\infty }=-(e^{-\infty }-e^0)=-(0-1)=1$$

$$I^2=2\pi \cdot 1=2\pi$$

因此：
$$I=\sqrt{2\pi }$$

这意味着：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2/2}dx=\sqrt{2\pi }$$

因此 $I=\sqrt{2\pi }$，证明了：
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-y^2/2}\mathrm{d}y=1$$

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性质

线性变换

如果 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $aX+b\sim N(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$。

证明：

• 令 $Y=aX+b$，$a>0$（$a<0$ 时证明类似）

• $Y$ 的分布函数：
  FY(x)=P{Y≤x}=P{aX+b≤x}=P{X≤x−ba}=FX(x−ba) F_Y(x) = P\{Y \leq x\} = P\{aX + b \leq x\} = P\left\{X \leq \frac{x-b}{a}\right\} = F_X\left(\frac{x-b}{a}\right) FY​(x)=P{Y≤x}=P{aX+b≤x}=P{X≤ax−b​}=FX​(ax−b​)

• 求导得密度函数：
  $$\begin{array}{rl}{f}_Y(x)& =\frac{1}{a}{f}_X\left(\frac{x-b}{a}\right)\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi a\sigma }}\exp \left\{-{\left(\frac{x-b}{a}-\mu \right)}^2/2{\sigma }^2\right\}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi a\sigma }}\exp \left\{-{\left(x-b-a\mu \right)}^2/2(a\sigma {)}^2\right\}\end{array}$$

• 这表明 $Y\sim N(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$

标准正态分布

如果 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $Z=(X-\mu )/\sigma \sim N(0,1)$。

• 标准正态分布的密度函数为：
  $$f_Z(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-z^2/2}$$

• 分布函数记为 $\Phi (z)$：
  $$\Phi (z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^z{e}^{-y^2/2}\mathrm{d}y$$

• 对称性：$\Phi (-z)=1-\Phi (z)$

期望与方差

例 4a：设 $X$ 是参数为 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$ 的正态随机变量，求 $E[X]$ 和 $Var(X)$。

• 先计算标准正态变量 $Z$ 的期望：
  $$E[Z]=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }z{e}^{-z^2/2}\mathrm{d}z=0$$
  （奇函数在对称区间上的积分）

• 计算 $Var(Z)=E[Z^2]$：
  $$\begin{array}{rl}Var(Z)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{z}^2{e}^{-z^2/2}\mathrm{d}z\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\left[-z{e}^{-z^2/2}{|}_{-\infty }^{\infty }+{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right]\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-z^2/2}\mathrm{d}z=1\end{array}$$

• 由于 $X=\mu +\sigma Z$：
  $$\begin{array}{rl}E[X]& =\mu +\sigma E[Z]=\mu \\ Var(X)& ={\sigma }^{2}Var(Z)={\sigma }^2\end{array}$$

[!IMPORTANT]

标准正态分布方差的详细计算

步骤 1：设置积分
$$Var(Z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{z}^2{e}^{-z^2/2}dz$$

步骤 2：应用分部积分法

我们需要计算 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{z}^2{e}^{-z^2/2}dz$，使用分部积分法：

回忆分部积分公式：
$$\int udv=uv-\int vdu$$

选择：

• 令 $u=z$，则 $du=dz$
• 令 $dv=z{e}^{-z^2/2}dz$，则 $v=-e^{-z^2/2}$（因为 $\frac{d}{dz}(-e^{-z^2/2})=z{e}^{-z^2/2}$）

应用公式：
$$\begin{array}{rl}\int z^2{e}^{-z^2/2}dz& =\int udv\\ & =uv-\int vdu\\ & =z\cdot (-e^{-z^2/2})-\int (-e^{-z^2/2})dz\\ & =-z{e}^{-z^2/2}+\int e^{-z^2/2}dz\end{array}$$

步骤 3：计算定积分

将上述结果应用于定积分：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{z}^2{e}^{-z^2/2}dz={\left[-z{e}^{-z^2/2}\right]}_{-\infty }^{\infty }+{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-z^2/2}dz$$

分析边界项 ${\left[-z{e}^{-z^2/2}\right]}_{-\infty }^{\infty }$：

• 当 $z\to \infty$ 时：
  $$\underset{z\to \infty }{\lim }(-z{e}^{-z^2/2})=\underset{z\to \infty }{\lim }\frac{-z}{e^{z^2/2}}$$
  这是一个 $\frac{\infty }{\infty }$ 型不定式，应用洛必达法则：
  $$\underset{z\to \infty }{\lim }\frac{-z}{e^{z^2/2}}=\underset{z\to \infty }{\lim }\frac{-1}{z{e}^{z^2/2}}=0$$
  （分子是常数，分母趋向无穷大）

• 当 $z\to -\infty$ 时：
  $$\underset{z\to -\infty }{\lim }(-z{e}^{-z^2/2})=\underset{z\to -\infty }{\lim }\frac{-z}{e^{z^2/2}}$$
  令 $w=-z$，则 $w\to \infty$：
  $$\underset{w\to \infty }{\lim }\frac{w}{e^{w^2/2}}=0$$
  （同样应用洛必达法则）

因此：
$${\left[-z{e}^{-z^2/2}\right]}_{-\infty }^{\infty }=0-0=0$$

步骤 4：简化表达式

代入边界项的结果：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{z}^2{e}^{-z^2/2}dz=0+{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-z^2/2}dz={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-z^2/2}dz$$

步骤 5：应用高斯积分结果

从之前的讨论（极坐标变换）我们知道：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-z^2/2}dz=\sqrt{2\pi }$$

将结果代入方差公式：
$$\begin{array}{rl}Var(Z)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{z}^2{e}^{-z^2/2}dz\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-z^2/2}dz\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \sqrt{2\pi }\\ & =1\end{array}$$

例题

例 4b：如果 $X$ 服从正态分布，参数为 $\mu =3$ 和 ${\sigma }^2=9$（即 $\sigma =3$），求：

• (a) P{2≤X≤5}P\{2 \leq X \leq 5\}P{2≤X≤5}：
  P{2<X<5}=P{2−33<X−33<5−33}=P{−13<Z<23}=Φ(23)−Φ(−13)=Φ(23)−[1−Φ(13)]≈0.7486−(1−0.6293)=0.3779 \begin{aligned} P\{2 < X < 5\} &= P\left\{\frac{2-3}{3} < \frac{X-3}{3} < \frac{5-3}{3}\right\} \\ &= P\left\{-\frac{1}{3} < Z < \frac{2}{3}\right\} \\ &= \Phi\left(\frac{2}{3}\right) - \Phi\left(-\frac{1}{3}\right) \\ &= \Phi\left(\frac{2}{3}\right) - \left[1 - \Phi\left(\frac{1}{3}\right)\right] \\ &\approx 0.7486 - (1 - 0.6293) = 0.3779 \end{aligned} P{2<X<5}​=P{32−3​<3X−3​<35−3​}=P{−31​<Z<32​}=Φ(32​)−Φ(−31​)=Φ(32​)−[1−Φ(31​)]≈0.7486−(1−0.6293)=0.3779​

• (b) P{X>0}P\{X > 0\}P{X>0}：
  P{X>0}=P{X−33>0−33}=P{Z>−1}=1−Φ(−1)=Φ(1)≈0.8413 \begin{aligned} P\{X > 0\} &= P\left\{\frac{X-3}{3} > \frac{0-3}{3}\right\} \\ &= P\{Z > -1\} \\ &= 1 - \Phi(-1) \\ &= \Phi(1) \approx 0.8413 \end{aligned} P{X>0}​=P{3X−3​>30−3​}=P{Z>−1}=1−Φ(−1)=Φ(1)≈0.8413​

• © P{∣X−3∣>6}P\{|X-3| > 6\}P{∣X−3∣>6}：
  P{∣X−3∣>6}=P{X>9}+P{X<−3}=P{Z>2}+P{Z<−2}=[1−Φ(2)]+Φ(−2)=2[1−Φ(2)]≈2(1−0.9772)=0.0456 \begin{aligned} P\{|X-3| > 6\} &= P\{X > 9\} + P\{X < -3\} \\ &= P\{Z > 2\} + P\{Z < -2\} \\ &= [1 - \Phi(2)] + \Phi(-2) \\ &= 2[1 - \Phi(2)] \approx 2(1 - 0.9772) = 0.0456 \end{aligned} P{∣X−3∣>6}​=P{X>9}+P{X<−3}=P{Z>2}+P{Z<−2}=[1−Φ(2)]+Φ(−2)=2[1−Φ(2)]≈2(1−0.9772)=0.0456​

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例 4c：考试分数的等级划分

如果考试分数服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，则：

• A等（超过 $\mu +\sigma$）：P{X>μ+σ}=1−Φ(1)≈0.1587P\{X > \mu + \sigma\} = 1 - \Phi(1) \approx 0.1587P{X>μ+σ}=1−Φ(1)≈0.1587
• B等（$\mu$ 到 $\mu +\sigma$）：P{μ<X<μ+σ}=Φ(1)−Φ(0)≈0.3413P\{\mu < X < \mu + \sigma\} = \Phi(1) - \Phi(0) \approx 0.3413P{μ<X<μ+σ}=Φ(1)−Φ(0)≈0.3413
• C等（$\mu -\sigma$ 到 $\mu$）：P{μ−σ<X<μ}=Φ(0)−Φ(−1)≈0.3413P\{\mu - \sigma < X < \mu\} = \Phi(0) - \Phi(-1) \approx 0.3413P{μ−σ<X<μ}=Φ(0)−Φ(−1)≈0.3413
• D等（$\mu -2\sigma$ 到 $\mu -\sigma$）：P{μ−2σ<X<μ−σ}=Φ(1)−Φ(2)≈0.1359P\{\mu - 2\sigma < X < \mu - \sigma\} = \Phi(1) - \Phi(2) \approx 0.1359P{μ−2σ<X<μ−σ}=Φ(1)−Φ(2)≈0.1359
• E等（低于 $\mu -2\sigma$）：P{X<μ−2σ}=Φ(−2)≈0.0228P\{X < \mu - 2\sigma\} = \Phi(-2) \approx 0.0228P{X<μ−2σ}=Φ(−2)≈0.0228

因此，近似地：

• A等：16%
• B等：34%
• C等：34%
• D等：14%
• E等：2%

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例 4d：怀孕期问题

母亲的怀孕期 $X\sim N(270,100)$（即 $\mu =270$，$\sigma =10$）。

如果被告是孩子的父亲，母亲在被告出国前或回国后怀孕的概率：
P{X>290 或 X<240}=P{X>290}+P{X<240}=P{X−27010>2}+P{X−27010<−3}=[1−Φ(2)]+Φ(−3)≈(1−0.9772)+0.0013=0.0241 \begin{aligned} P\{X > 290 \text{ 或 } X < 240\} &= P\{X > 290\} + P\{X < 240\} \\ &= P\left\{\frac{X-270}{10} > 2\right\} + P\left\{\frac{X-270}{10} < -3\right\} \\ &= [1 - \Phi(2)] + \Phi(-3) \\ &\approx (1 - 0.9772) + 0.0013 = 0.0241 \end{aligned} P{X>290 或 X<240}​=P{X>290}+P{X<240}=P{10X−270​>2}+P{10X−270​<−3}=[1−Φ(2)]+Φ(−3)≈(1−0.9772)+0.0013=0.0241​

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例 4e：电信信号传输

当传送信息为 1 时发送值 2，为 0 时发送值 -2。接收值 $R=x+N$，其中 $N\sim N(0,1)$。

• 信息 1 被错误认为 0 的概率（当 $R<0.5$）：
  P{2+N<0.5}=P{N<−1.5}=1−Φ(1.5)≈0.0668 P\{2 + N < 0.5\} = P\{N < -1.5\} = 1 - \Phi(1.5) \approx 0.0668 P{2+N<0.5}=P{N<−1.5}=1−Φ(1.5)≈0.0668

• 信息 0 被错误认为 1 的概率（当 $R\ge 0.5$）：
  P{−2+N≥0.5}=P{N≥2.5}=1−Φ(2.5)≈0.0062 P\{-2 + N \geq 0.5\} = P\{N \geq 2.5\} = 1 - \Phi(2.5) \approx 0.0062 P{−2+N≥0.5}=P{N≥2.5}=1−Φ(2.5)≈0.0062

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正态近似

棣莫弗-拉普拉斯极限定理

在 $n$ 次独立重复试验中，设每次成功的概率为 $p$，记成功总次数为 $S_n$，则对任意 $a<b$：

$$P\left\{a⩽\frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}⩽b\right\}\to \Phi (b)-\Phi (a)\text{当 }n\to \infty$$

使用条件：

• 当 $np(1-p)\ge 10$ 时，正态近似效果很好
• 需要进行连续性修正（因为二项分布是离散的，而正态分布是连续的）

连续性修正：

• P{Sn=i}≈P{i−0.5<X<i+0.5}P\{S_n = i\} \approx P\{i-0.5 < X < i+0.5\}P{Sn​=i}≈P{i−0.5<X<i+0.5}，其中 $X$ 为正态变量

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例 4g：抛 40 次均匀硬币

设 $X$ 为正面次数，$X\sim \text{Binomial}(40,0.5)$。

• 正态近似：
  P{X=20}=P{19.5<X<20.5}=P{19.5−2010<X−2010<20.5−2010}≈P{−0.16<Z<0.16}=Φ(0.16)−Φ(−0.16)≈0.1272 \begin{aligned} P\{X = 20\} &= P\{19.5 < X < 20.5\} \\ &= P\left\{\frac{19.5 - 20}{\sqrt{10}} < \frac{X - 20}{\sqrt{10}} < \frac{20.5 - 20}{\sqrt{10}}\right\} \\ &\approx P\{-0.16 < Z < 0.16\} \\ &= \Phi(0.16) - \Phi(-0.16) \approx 0.1272 \end{aligned} P{X=20}​=P{19.5<X<20.5}=P{10​19.5−20​<10​X−20​<10​20.5−20​}≈P{−0.16<Z<0.16}=Φ(0.16)−Φ(−0.16)≈0.1272​

• 精确解：
  P{X=20}=(4020)(12)40≈0.1254 P\{X = 20\} = \binom{40}{20} \left(\frac{1}{2}\right)^{40} \approx 0.1254 P{X=20}=(2040​)(21​)40≈0.1254

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例 4h：学院招生问题

设 $X$ 为入学新生人数，$X\sim \text{Binomial}(450,0.3)$。

• 正态近似：
  P{X≥150}≈P{X≥150.5}=P{X−450×0.3450×0.3×0.7≥150.5−13594.5}=P{Z≥15.59.72}=P{Z≥1.59}≈1−Φ(1.59)≈0.0559 \begin{aligned} P\{X \geq 150\} &\approx P\{X \geq 150.5\} \\ &= P\left\{\frac{X - 450 \times 0.3}{\sqrt{450 \times 0.3 \times 0.7}} \geq \frac{150.5 - 135}{\sqrt{94.5}}\right\} \\ &= P\left\{Z \geq \frac{15.5}{9.72}\right\} \\ &= P\{Z \geq 1.59\} \\ &\approx 1 - \Phi(1.59) \approx 0.0559 \end{aligned} P{X≥150}​≈P{X≥150.5}=P{450×0.3×0.7​X−450×0.3​≥94.5​150.5−135​}=P{Z≥9.7215.5​}=P{Z≥1.59}≈1−Φ(1.59)≈0.0559​

因此，入学新生超过 150 名的概率约为 5.59%。

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例 4i：胆固醇试验

设 $X$ 为胆固醇降低的人数，$X\sim \text{Binomial}(100,0.5)$（假设食品无效）。

• 正态近似：
  P{X≥65}≈P{X≥64.5}=P{X−505≥64.5−505}=P{Z≥2.9}≈1−Φ(2.9)≈0.0019 \begin{aligned} P\{X \geq 65\} &\approx P\{X \geq 64.5\} \\ &= P\left\{\frac{X - 50}{5} \geq \frac{64.5 - 50}{5}\right\} \\ &= P\{Z \geq 2.9\} \\ &\approx 1 - \Phi(2.9) \approx 0.0019 \end{aligned} P{X≥65}​≈P{X≥64.5}=P{5X−50​≥564.5−50​}=P{Z≥2.9}≈1−Φ(2.9)≈0.0019​

因此，即使食品无效，营养学家仍承认它有效的概率约为 0.19%。

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例 4j：纽约市民支持率

设 $S_n$ 为支持禁令的人数，$S_n\sim \text{Binomial}(n,0.52)$。

• 正态近似：
  P{Sn>0.5n}=P{Sn−0.52nn×0.52×0.48>0.5n−0.52nn×0.52×0.48}=P{Z>−0.04n}=Φ(0.04n) \begin{aligned} P\{S_n > 0.5n\} &= P\left\{\frac{S_n - 0.52n}{\sqrt{n \times 0.52 \times 0.48}} > \frac{0.5n - 0.52n}{\sqrt{n \times 0.52 \times 0.48}}\right\} \\ &= P\left\{Z > -0.04\sqrt{n}\right\} \\ &= \Phi(0.04\sqrt{n}) \end{aligned} P{Sn​>0.5n}​=P{n×0.52×0.48​Sn​−0.52n​>n×0.52×0.48​0.5n−0.52n​}=P{Z>−0.04n​}=Φ(0.04n​)​

• 计算：

  • $n=11$：$\Phi (0.1328)\approx 0.5528$
  • $n=101$：$\Phi (0.4020)\approx 0.6562$
  • $n=1001$：$\Phi (1.2665)\approx 0.8973$

• 为使概率 > 0.95：
  $$\Phi (0.04\sqrt{n})>0.95\Rightarrow 0.04\sqrt{n}>1.645\Rightarrow n\ge 1692$$

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本节小结

特性	公式
密度函数	$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\beta -\alpha }& \alpha <x<\beta \\ 0& \text{其他}\end{array}$
分布函数	$F(a)=\{\begin{array}{ll}0& a\le \alpha \\ \frac{a-\alpha }{\beta -\alpha }& \alpha <a<\beta \\ 1& a\ge \beta \end{array}$
期望	$E[X]=\frac{\alpha +\beta }{2}$
方差	$Var(X)=\frac{(\beta -\alpha {)}^2}{12}$

正态随机变量

特性	公式
密度函数	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-(x-\mu {)}^2/2{\sigma }^2}$
标准正态分布	$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$
分布函数	$\Phi (z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^z{e}^{-y^2/2}\mathrm{d}y$
对称性	$\Phi (-z)=1-\Phi (z)$
期望	$E[X]=\mu$
方差	$Var(X)={\sigma }^2$
线性变换	$aX+b\sim N(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$

二项分布的正态近似

• 条件：$np(1-p)\ge 10$
• 连续性修正：P{Sn=i}≈P{i−0.5<X<i+0.5}P\{S_n = i\} \approx P\{i-0.5 < X < i+0.5\}P{Sn​=i}≈P{i−0.5<X<i+0.5}
• 标准化：$\frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\approx N(0,1)$概率论基础教程第5章 连续型随机变量(一)