高等数学 8.5 曲面及其方程

一、曲面研究的基本问题

在空间解析几何中，关于曲面的研究有下列两个基本问题：

（1）已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程；

（2）已知坐标 $x,y,z$ 间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状。

如球心在点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 、半径为 $R$ 的球面方程为
$$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0)=R^2.\text{\hspace{1em}(5-1)}$$
如果球心在原点，那么 $x_0=y_0=z_0=0$ ，从而球面方程为
$$x^2+y^2+z^2=R^2.$$

二、旋转曲面

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做 旋转曲面 ，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的 母线 和 轴 。

设在 $yOz$ 坐标面上有一已知曲线 $C$ ，它的方程为

$$f(y,z)=0,$$

把这曲线绕 $z$ 轴旋转一周，就得到一个以 $z$ 轴为轴的旋转曲面。它的方程可以求得如下：

设 $M_1(0,y_1,z_1)$ 为曲线 $C$ 上的任一点，则有

$$f(y_1,z_1)=0\text{\hspace{1em}(5-2)}$$

当曲线 $C$ 绕 $z$ 轴旋转时，点 $M_1$ 绕 $z$ 轴转到另一点 $M(x,y,z)$ ，这时 $z=z_1$ 保持不变，且点 $M$ 到 $z$ 轴的距离

$$d=\sqrt{x^2+y^2}=|y_1|$$

将 $z_1=z,y_1=\pm \sqrt{x^2+y^2}$ 代入 $(5-2)$ 式，就有

$$f(\pm \sqrt{x^2+y^2},z)=0,\text{\hspace{1em}(5-3)}$$

这就是所求旋转曲面的方程。

由此可知，在曲线 $C$ 的方程 $F(y,z)=0$ 中将 $y$ 改成 $\pm \sqrt{x^2+y^2}$ ，便得曲线 $C$ 绕 $z$ 轴旋转所成的旋转曲面的方程。

同理，曲线 $C$ 绕 $y$ 轴旋转所成的旋转曲面的方程为

$$f(y,\pm \sqrt{x^2+z^2})=0.\text{\hspace{1em}(5-4)}$$

三、柱面

一般地，直线 $L$ 沿定曲线 $C$ 平行移动形成的轨迹叫做 柱面 ，定曲线 $C$ 叫做 柱面的准线 ，动直线 $L$ 叫做 柱面的母线 。

一般地，只含 $x,y$ 而缺 $z$ 的方程 $F(x,y)=0$ 在空间直角坐标系中表示母线平行于 $z$ 轴的柱面，其准线是 $xOy$ 面上的曲线。

类似可知，只含 $x,z$ 而缺 $y$ 的方程 $G(x,z)=0$ 和只含 $y,z$ 而缺 $x$ 的方程 $H(y,z)=0$ 分别表示母线平行于 $y$ 轴和 $x$ 轴的柱面。

四、二次曲线

三元二次方程 $F(x,y,z)=0$ 所表示的曲面称为 二次曲面 ，而把平面称为 一次曲面 。

二次曲面有九种，适当选取空间直角坐标系，可得它们的标准方程。

1. 椭圆锥面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$

以垂直于 $z$ 轴的平面 $z=t$ 截此曲面，当 $t=0$ 时得一点 $(0,0,0)$ ；当 $t\ne 0$ 时，得平面 $z=t$ 上的椭圆

$$\frac{x^2}{(at{)}^2}+\frac{y^2}{(bt{)}^2}=1.$$

当 $t$ 变化时，上式表示一族长短轴比例不变的椭圆，当 $|t|$ 从大到小并变为0时，这族椭圆从大到小并缩为一点。综合上述讨论，可得椭圆锥面的形状如下图（图8-48）所示.

平面 $z=t$ 与曲面 $F(x,y,z)=0$ 的交线称为 截痕 。通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法称为 截痕法 。

还可以用伸缩变形的方法来得出椭圆锥面的形状。

先说明 $xOy$ 平面上的图形伸缩变形的方法。在 $xOy$ 平面上，把点 $M(x,y)$ 变为点 $M^{\prime }(x,\lambda y)$ ，从而把点 $M$ 的轨迹 $C$ 变为点 $M^{\prime }$ 的轨迹 $C^{\prime }$ ，称为把图形 $C$ 沿 $y$ 轴方向伸缩 $\lambda$ 倍变成图形 $C^{\prime }$ 。假如 $C$ 为曲线 $F(x,y)=0$ ，点 $M(x_1,y_1)\in C$ ，点 $M$ 变为点 $M^{\prime }(x_2,y_2)$ ，其中 $x_2=x_1,y_2=\lambda y_1$ ，即 $x_1=x_2,y_1=\frac{1}{\lambda }{y}_2$ ，因点 $M\in C$ ，有 $F(x_1,y_1)=0$ ，故 $F\left(x_2,\frac{1}{\lambda }{y}_2\right)=0$ ，因此点 $M^{\prime }(x_2,y_2)$ 的轨迹 $C^{\prime }$ 的方程为 $F\left(x,\frac{1}{\lambda }y\right)=0$ 。例如把圆 $x^2+y_2=a^2$ 沿 $y$ 轴方向伸缩 $\frac{b}{a}$ 倍，就变为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 。

类似地，把空间图形沿 $y$ 轴方向伸缩 $\frac{b}{a}$ 倍，圆锥面 $\frac{x^2+y^2}{a^2}=z^2$ 就变为椭圆锥面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$ 。

利用圆锥面（旋转曲面）的伸缩变形来得出椭圆锥面的形状，这种方法是研究曲面形状的一种较方便的方法。

2.椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

把 $zOx$ 面上的椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 绕 $z$ 轴旋转，所得的曲面称为 旋转椭球面 ，其方程为

$$\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

再把旋转椭球面沿 $y$ 轴方向伸缩 $\frac{b}{a}$ 倍，便得椭球面 $(2)$ 的形状如图8-50所示。

当 $a=b=c$ 时，椭球面 $(2)$ 成为 $x^2+y^2+z^2=a^2$ ，这时球心在原点、半径为 $a$ 的球面。显然，球面是旋转椭球面的特殊情形，旋转椭球面是椭球面的特殊情形。把球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 沿 $z$ 轴伸缩 $\frac{c}{a}$ 倍，即得旋转椭球面 $\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ ；再沿 $y$ 轴方向伸缩 $\frac{b}{a}$ 倍，即得椭球面 $(2)$ 。

3.单叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

把 $zOx$ 面上的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ 绕 $z$ 轴旋转，得旋转单叶双曲面 $\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ ，把此旋转曲面沿 $y$ 轴方向伸缩 $\frac{b}{a}$ 倍，即得单叶双曲面 $(3)$ 。

4.双叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

把 $zOx$ 面上的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ 绕 $x$ 轴旋转，得旋转双叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{c^2}=1$ ，把此旋转曲面沿 $y$ 轴方向伸缩 $\frac{b}{c}$ 倍，即得双叶双曲面 $(4)$ 。

5.椭圆抛物面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$

把 $zOx$ 面上的抛物线 $\frac{x^2}{a^2}=z$ 绕 $z$ 轴旋转，所得曲面叫做 旋转抛物面 ，如图8-51所示。把此旋转曲面沿 $y$ 轴方向伸缩 $\frac{b}{a}$ 倍，即得椭圆抛物面 $(5)$ 。

6.双曲抛物面 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$

双曲抛物面又称 马鞍面 ，我们用截痕法来讨论它的形状。

用平面 $x=t$ 截此曲面，所得截痕 $l$ 为平面 $x=t$ 上的抛物线

$$-\frac{y^2}{b^2}=z-\frac{t^2}{a^2},$$

此抛物线开口朝下，其顶点坐标为

$$x=t,y=0,z=\frac{t^2}{a^2}$$

当 $t$ 变化时，$l$ 的形状不变，位置只作平移，而 $l$ 的顶点的轨迹 $L$ 为平面 $y=0$ 上的抛物线

$$z=\frac{x^2}{a^2}.$$

因此，以 $l$ 为母线，$L$ 为准线，母线 $l$ 的顶点在准线 $L$ 上滑动，且母线作平行移动，这样得到的曲面便是双曲抛物面 $(6)$ ，如图8-52所示。

还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,x^2=ay.$$

依次称为 椭球柱面 、双曲柱面 、抛物柱面 。

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