【LeetCode 热题 100】198. 打家劫舍——（解法二）自底向上
Problem: 198. 打家劫舍
文章目录
- 整体思路
- 完整代码
- 时空复杂度
- 时间复杂度：O(N)
- 空间复杂度：O(N)
整体思路
这段代码同样旨在解决 “打家劫舍” 问题，但它采用的是一种 自底向上（Bottom-Up）的动态规划 方法，也称为 迭代法 或 制表法 (Tabulation)。这种方法通过构建一个DP表（f 数组），从最小的子问题开始，逐步计算出最终的解，避免了递归的开销。
该实现有一个巧妙之处，即通过调整DP数组的索引，使得循环内的状态转移方程无需处理边界条件，代码更为简洁。
-
状态定义与索引映射：
- 算法定义了一个DP数组
f。这里的f[k]被设计为表示“在考虑前k-1间房屋时能偷到的最高金额”。 - 这是一个索引偏移的技巧。具体来说：
f[0]和f[1]可以看作是“哨兵”或基础情况，代表没有房屋可偷，金额为0。f[2]将代表考虑第一间房（nums[0]）时的最大金额。f[i+2]将代表考虑前i+1间房（nums[0...i]）时的最大金额。- 最终，
f[n+1]将代表考虑所有n间房（nums[0...n-1]）时的最大金额。
- 算法定义了一个DP数组
-
基础情况 (Base Cases)：
- Java中
new int[n + 2]数组默认所有元素都初始化为0。 f[0] = 0和f[1] = 0恰好满足我们的基础情况：在有0间或-1间房（不存在）时，最大收益为0。
- Java中
-
状态转移：
- 算法使用一个
for循环，从i = 0遍历到n-1，这个i对应的是nums数组的索引。 - 在循环的每一步，计算
f[i+2]的值，它代表考虑nums[0...i]时的最大收益。 - 状态转移方程是
f[i + 2] = Math.max(f[i + 1], f[i] + nums[i])。 - 我们来解析这个方程：
f[i+1]：根据我们的定义，它代表考虑nums[0...i-1]时的最大收益。这对应了不偷当前房屋nums[i]的情况。f[i] + nums[i]：f[i]代表考虑nums[0...i-2]时的最大收益。这对应了偷当前房屋nums[i]的情况（因为偷了i，就不能偷i-1，所以只能从i-2的状态转移过来）。
- 这个方程完美地表达了“偷”与“不偷”当前房屋
i的选择。
- 算法使用一个
-
返回结果：
- 当循环结束后，
f数组已经从f[2]填充到了f[n+1]。 - 我们需要的最终答案，即考虑所有
n间房屋的最大收益，就存储在f[n+1]中。
- 当循环结束后，
完整代码
class Solution {/*** 计算在不偷相邻房屋的情况下，能偷窃到的最高金额。* @param nums 每个房屋的金额数组* @return 最高总金额*/public int rob(int[] nums) {int n = nums.length;// f: 动态规划数组。f[k] 表示考虑前 k-1 间房屋能偷到的最大金额。// 数组大小为 n+2 是为了使用 f[0] 和 f[1] 作为哨兵，简化循环内的逻辑。int[] f = new int[n + 2];// 循环变量 i 对应 nums 数组的索引。for (int i = 0; i < n; i++) {// 状态转移方程：// 计算 f[i+2]，它代表考虑房屋 nums[0...i] 时的最大收益。// 这个收益取决于对当前房屋 nums[i] 的选择：// 1. 不偷 nums[i]: 最大收益等于考虑 nums[0...i-1] 时的收益，即 f[i+1]。// 2. 偷 nums[i]: 最大收益等于 nums[i] 加上考虑 nums[0...i-2] 时的收益，即 f[i] + nums[i]。// 我们取这两者中的较大值。f[i + 2] = Math.max(f[i + 1], f[i] + nums[i]);}// 循环结束后，f[n+1] 存储的是考虑所有 n 间房屋 (nums[0...n-1]) 时的最大收益。return f[n + 1];}
}
时空复杂度
时间复杂度：O(N)
- 循环：算法的核心是一个
for循环，它从i = 0遍历到n-1。这个循环执行了N次。 - 循环内部操作：
- 在循环的每一次迭代中，执行的都是基本的数组访问、
Math.max和加法运算。 - 这些操作的时间复杂度都是 O(1)。
- 在循环的每一次迭代中，执行的都是基本的数组访问、
综合分析：
算法由 N 次 O(1) 的操作组成。因此，总的时间复杂度是 N * O(1) = O(N)。
空间复杂度：O(N)
- 主要存储开销：算法创建了一个名为
f的整型数组来存储动态规划的所有中间状态。 - 空间大小：该数组的长度是
n + 2，其大小与输入N成线性关系。 - 其他变量：
n,i等变量都只占用常数级别的空间，即 O(1)。
综合分析：
算法所需的额外空间主要由 f 数组决定。因此，其空间复杂度为 O(N)。
空间优化提示：
观察状态转移方程 f[i+2] = Math.max(f[i+1], f[i] + nums[i])，可以发现 f[i+2] 的计算只依赖于前两个状态 f[i+1] 和 f[i]。因此，我们不需要存储整个 f 数组，只需用两个变量来滚动记录前两个状态即可。这样可以将空间复杂度优化到 O(1)。