【高等数学】第九章 多元函数微分法及其应用——第六节 多元函数微分学的几何应用

上一节：【高等数学】第九章 多元函数微分法及其应用——第五节 隐函数的求导公式
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1. 一元向量值函数及其导数

• 一元向量值函数
  设数集$D\subset \mathbf{R}$，则称映射$\mathbf{f}:D\to {\mathbf{R}}^n$为一元向量值函数，通常记为$$\mathbf{r}=\mathbf{f}(t)=f_1(t){\mathbf{e}}_1+f_2(t){\mathbf{e}}_2+\cdots +f_n(t){\mathbf{e}}_{\mathbf{n}},t\in D,$$其中数集$D$称为函数的定义域，$t$称为自变量，$\mathbf{r}$称为因变量.
  一元向量值函数是普通一元函数的推广，自变量$t$依然取实数值，但因变量$\mathbf{r}$不取实数值，而取值为$n$维向量.
• 向量值函数的图形
  设(变)向量$\mathbf{r}$的起点取在坐标系的原点$O$处，终点在$M$处，即$\mathbf{r}=\overrightarrow{OM}$.
  当$t$改变时，$\mathbf{r}$跟着改变，从而终点$M$也随之改变. 终点$M$的轨迹(记作曲线$\Gamma$)称为向量值函数$\mathbf{r}=\mathbf{f}(t)$ ($t\in D$)的终端曲线，曲线$\Gamma$也称为向量值函数$\mathbf{r}=\mathbf{f}(t)$ ($t\in D$)的图形.
  由于向量值函数$\mathbf{r}=\mathbf{f}(t)$ ($t\in D$)与空间曲线$\Gamma$是一一对应的，
  因此$\mathbf{r}=\mathbf{f}(t)$ 称为曲线$\Gamma$的向量方程（实际上是空间曲线的参数方程）.
• 向量值函数的极限
  设向量值函数$\mathbf{f}(t)$在点$t_0$的某一去心邻域内有定义，
  如果存在一个常向量${\mathbf{r}}_0$，对于任意给定的正数$\epsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$t$满足$0<|t-t_0|<\delta$时，对应的函数值$\mathbf{f}(t)$都满足不等式 $$|\mathbf{f}(t)-{\mathbf{r}}_0|<\epsilon ,$$那么，常向量${\mathbf{r}}_0$就叫做向量值函数$\mathbf{f}(t)$当$t\to t_0$时的极限，记作$$\underset{t\to t_0}{\lim }\mathbf{f}(t)={\mathbf{r}}_0\text{或}\mathbf{f}(t)\to {\mathbf{r}}_0,t\to t_0.$$ 向量值函数$\mathbf{f}(t)$当$t\to t_0$时的极限存在的充分必要条件是$\mathbf{f}(t)$的三个分量函数$f_1(t)$，$f_2(t)$，$f_3(t)$当$t\to t_0$时的极限都存在
  在$\mathbf{f}(t)$极限存在时，向量值函数取极限等价于对应分量取极限

  向量模等于各分量模之和的平方根

• 向量值函数的连续性
  设向量值函数$\mathbf{f}(t)$在点$t_0$的某一邻域内有定义，若 $$\underset{t\to t_0}{\lim }\mathbf{f}(t)=\mathbf{f}(t_0),$$ 则称向量值函数$\mathbf{f}(t)$在$t_0$连续.
  向量值函数$\mathbf{f}(t)$在$t_0$连续的充分必要条件是$\mathbf{f}(t)$的三个分量函数$f_1(t)$，$f_2(t)$，$f_3(t)$都在$t_0$连续.
• 向量值函数的导数
  设向量值函数$\mathbf{r}=\mathbf{f}(t)$在点$t_0$的某一邻域内有定义，如果$$\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\mathbf{f}(t_0+\Delta t)-\mathbf{f}(t_0)}{\Delta t}$$ 存在，
  那么就称这个极限向量为向量值函数$\mathbf{r}=\mathbf{f}(t)$在$t_0$处的导数或导向量，记作${\mathbf{f}}^{\prime }(t_0)$或${\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}|}_{t=t_0}$.
  向量值函数$\mathbf{f}(t)$在$t_0$可导（即存在导数）的充分必要条件是$\mathbf{f}(t)$的三个分量函数$f_1(t)$，$f_2(t)$，$f_3(t)$都在$t_0$可导
  当$\mathbf{f}(t)$在$t_0$可导时，其导数等价于各分量的取导数
• 向量值函数的求导法则
  • $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{C}=0$
  • $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[c\mathbf{u}(t)\right]=c{\mathbf{u}}^{\prime }(t)$
  • $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\mathbf{u}(t)\pm \mathbf{v}(t)\right]={\mathbf{u}}^{\prime }(t)\pm {\mathbf{v}}^{\prime }(t)$
  • $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\phi (t)\mathbf{u}(t)\right]={\phi }^{\prime }(t)\mathbf{u}(t)+\phi (t){\mathbf{u}}^{\prime }(t)$
  • $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\mathbf{u}(t)\cdot \mathbf{v}(t)\right]={\mathbf{u}}^{\prime }(t)\cdot \mathbf{v}(t)+\mathbf{u}(t)\cdot {\mathbf{v}}^{\prime }(t)$

    $\mathbf{u}(t)\cdot \mathbf{v}(t)=u_1{v}_1+u_2{v}_2$
    ${\mathbf{u}}^{\prime }(t)\cdot \mathbf{v}(t)+\mathbf{u}(t)\cdot {\mathbf{v}}^{\prime }(t)=u_1^{\prime }{v}_1+u_2^{\prime }{v}_2+u_1{v}_1^{\prime }+u_2{v}_2^{\prime }$

  • $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\mathbf{u}(t)\times \mathbf{v}(t)\right]={\mathbf{u}}^{\prime }(t)\times \mathbf{v}(t)+\mathbf{u}(t)\times {\mathbf{v}}^{\prime }(t)$
  • $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{u}\left[\phi (t)\right]={\phi }^{\prime }(t){\mathbf{u}}^{\prime }\left[\phi (t)\right]$
• 向量值函数导数的几何意义是对应空间曲线的切向量，指向与曲线增长方向相同

2. 空间曲线的切线与法平面

• 空间曲线的切线与法平面
  设空间曲线$\Gamma$的参数方程为$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t),\\ y=\psi (t),\\ z=\omega (t),\end{array}t\in [\alpha ,\beta ].$$这里假定三个函数都在$[\alpha ,\beta ]$上可导，且三个导数不同时为零
  已知点$M(x_0,y_0,z_0)$，设与点$M$对应的参数为$t_0$，曲线$\Gamma$在该点的切向量为${\mathbf{f}}^{\prime }(t_0)=({\phi }^{\prime }(t_0),{\psi }^{\prime }(t_0),{\omega }^{\prime }(t_0))$，从而曲线$\Gamma$在点$M$处的切线方程为$$\frac{x-x_0}{{\phi }^{\prime }(t_0)}=\frac{y-y_0}{{\psi }^{\prime }(t_0)}=\frac{z-z_0}{{\omega }^{\prime }(t_0)}.$$通过点$M$且与切线垂直的平面称为曲线$\Gamma$在点$M$处的法平面，它是通过点$M(x_0,y_0,z_0)$且以$\mathbf{T}={\mathbf{f}}^{\prime }(t_0)$为法向量的平面，因此法平面方程为
  $${\phi }^{\prime }(t_0)(x-x_0)+{\psi }^{\prime }(t_0)(y-y_0)+{\omega }^{\prime }(t_0)(z-z_0)=0.$$
• 空间曲线的参数方程（以$x$为参数）
  $$\{\begin{array}{l}y=\phi (x)\\ z=\psi (x)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=x\\ y=\phi (x)\\ z=\psi (x)\end{array}$$
• 空间曲线的一般方程
  $$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0\end{array}$$设$M(x_0,y_0,z_0)$是曲线$\Gamma$上的一个点，
  又设$F$、$G$有对各个变量的连续偏导数，且${\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}|}_{(x_0,y_0,z_0)}\ne 0$
  则方程组在点$M(x_0,y_0,z_0)$的某一邻域内确定了一组函数$y=\phi (x)$，$z=\psi (x)$
  要求曲线$\Gamma$在点$M$处的切线方程和法平面方程，只要求出${\phi }^{\prime }(x_0)$，${\psi }^{\prime }(x_0)$，再代入切线方程和法平面方程即可
  方程组两边对$x$求全导数可得
  $$\{\begin{array}{l}{F}_x^{\prime }+F_y^{\prime }\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+F_z^{\prime }\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=0,\\ G_x^{\prime }+G_y^{\prime }\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+G_z^{\prime }\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=0.\end{array}$$
  ${\phi }^{\prime }(x)=\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (z,x)}}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}},{\psi }^{\prime }(x)=\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}}$

3. 曲面的切平面与法线

• 曲面的切平面与法线
  曲面方程$F(x,y,z)=0$，设$M(x_0,y_0,z_0)$是曲面上一点，并设函数$F(x,y,z)$的偏导数在该点连续且不同时为零
  通过点$M$在曲面上任意引一条曲线，假定曲线的方程为$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t),\\ y=\psi (t),\\ z=\omega (t),\end{array}t\in [\alpha ,\beta ].$$ $t=t_0$对应于点$M(x_0,y_0,z_0)$且${\phi }^{\prime }(t_0)$，${\psi }^{\prime }(t_0)$，${\omega }^{\prime }(t_0)$不全为零（切线存在）
  $F(\phi (t),\psi (t),\omega (t))\equiv 0$
  因为$F(x,y,z)$在点$(x_0,y_0,z_0)$处有连续偏导数，且${\phi }^{\prime }(t_0)$、${\psi }^{\prime }(t_0)$和${\omega }^{\prime }(t_0)$存在，所以这恒等式左边的复合函数在$t=t_0$时有全导数，且这全导数等于零，即
  $F_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0){\phi }^{\prime }(t_0)+F_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0){\psi }^{\prime }(t_0)+F_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0){\omega }^{\prime }(t_0)=0$
  引入向量$\mathbf{n}=(F_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0),F_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0),F_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0))$
  任意经过$M$的曲线在$M$处的切线向量都与$\mathbf{n}$垂直
  所以曲面上通过点$M$的一切曲线在点$M$的切线都在同一个平面上
  这个平面称为曲面在点$M$的切平面，这切平面的方程是$$F_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$$通过点$M(x_0,y_0,z_0)$且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线，法线方程是$$\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}$$ 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量，向量 $$\mathbf{n}=(F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0))$$就是曲面在点$M$处的一个法向量．
• $z=f(x,y)$
  函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的全微分，在几何上表示曲面$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0,z_0)$处的切平面上点的竖坐标的增量

  切平面的方程：$f_x^{\prime }(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y^{\prime }(x_0,y_0)(y-y_0)-(z-z_0)=0$

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