博弈论06——PPAD复杂度问题

这篇幅太难，不是为了考试和搞学术就别看了
这篇我理解了2-3天，看了youtube+B战上6个不同国外老师视频。简单阅览是基本看不懂的（巨佬当我没说）
别自我折磨
需要可帮助理解
自己写完都不想看

1 Games and Equilibrium 博弈和均衡

1.1 历史背景

冯.诺依曼（von Neumann）证明了，任何两个参与者的零和博弈都存在这样的均衡。
均衡（Equilibrium）： A pair of randomized strategies so that no player has incentive to deviate if the other stays put. 一对随机化策略，使得在对方保持不变的情况下，没有任何一方有动机偏离当前策略。
即使一开始，我们不清楚博弈中是否存在满足纳什均衡的策略，但一定有。
第一个得出这个结论的是20世纪20年代的冯诺依曼，他证明了，如果一个博弈是双人零和博弈，那这个博弈总会存在一个均衡。
不过，当时这个均衡不叫纳什均衡，因为当时纳什还没出生，这个定理被称为最小最大均衡（minmax equilibrium）。后来，当丹齐格（Dantzig）和冯诺依曼一起研究线性规划对偶性时，他们意识到这个定理实际上是强LP对偶性所蕴含的。他们还花了很多年，发现使用线性规划可以计算这些类型的博弈中的均衡。我们知道，这个命题和强LP对偶性是等价的数学命题。因此双人零和博弈中均衡的存在等价于线性规划+对偶

[von Neumann 1928]：在双人零和博弈中，总是存在均衡。 ⇐ 线性规划强对偶性 + 均衡可以通过线性规划在多项式时间内计算出来

纳什证明，任何有限博弈，必然存在纳什均衡。

1.2 考虑的问题

第一个问题
了解问题的复杂性（understand the computational complexity of this problem）。给定一场比赛，找到纳什均衡有多难？

2 Brouwer’s Theorem 布劳威尔定理

给定一个函数，将欧几里得空间的凸、封闭且有界的子集映射到其自身，那它一定有一个在函数下不会移动的点。

Brouwer 不动点定理（Brouwer 1910）

设
$$f:D\to D$$
是从欧几里得空间中凸且紧（即闭且有界）的子集 $D$ 映射到自身的一个连续函数，
那么存在一个 $x\in D$，使得
$$x=f(x)$$

其中 凸且紧：convex and compact = closed and bounded

3 ε-Nash equilibrium

3.1 ε-Nash equilibrium 的定义

纳什均衡近似解，上下&

定义： 如果对任意玩家 $i$，换成其他策略后，收益最多只提高 $\epsilon$，那么这个策略组合就是一个 ε-Nash equilibrium。

公式表示：
$$\forall i,{\pi }_i(\sigma )\ge {\pi }_i({\sigma }_i^{\prime },{\sigma }_{-i})-\epsilon$$
其中：
${\pi }_i$ 表示玩家 $i$ 的收益
${\sigma }_i^{\prime }$ 表示玩家 $i$ 改变后的策略
${\sigma }_{-i}$ 表示其他玩家的策略

核心思想：不要求完全最优，只要“差不多”就行。

3.2 ε-Nash equilibrium和Nash equilibrium的区别

为了解决多人（>2）博弈

精确 Nash equilibrium 的困难
两人零和博弈：用线性规划在多项式时间内精确求出 Nash。
三人及以上的博弈：巨难
——Nash 均衡可能涉及 无理数（比如 $\sqrt{2}$这种），无法精确用有限位二进制存储；
——计算问题属于 PPAD-complete，目前没有已知的多项式时间算法；
——精确搜索需要遍历或计算超多组合，复杂度爆炸。

退而求其次：ε-Nash equilibrium
ε-Nash equilibrium 定义：允许玩家即使改变策略，收益最多只增加 ε。
ε 越小，解越接近真正的 Nash equilibrium。当 ε=0 时，就是真正的 Nash equilibrium。
好处：
计算上更容易：不追求完全精确，而是找一个误差可控的近似解。
理论上可行：用离散化 + Sperner 引理，可以保证在多项式时间内找到近似不动点（从而得到 ε-Nash equilibrium）

近似不动点与 ε-Nash 的关系
Nash 均衡 = 函数 f 的精确不动点。
ε-Nash = 函数 f 的近似不动点（距离真实不动点不超过某个 α）

用 Sperner 引理 找到一个“完全着色”的小单元，就能保证它包含一个近似不动点。
近似不动点带来的策略组合，就是 ε-Nash equilibrium。

4 α-approximate fixed point（α-近似不动点）

定义： 有一个函数
$$f:S\to S$$
（输入和输出都在集合 $S$ 内）。

如果一个点 $x^{\ast }$ 满足：
$$\Vert f(x^{\ast })-x^{\ast }{\Vert }_{\infty }\le \alpha$$

就称它为 α-近似不动点。

公式解释：

• 这里的 $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ 是 无穷范数（∞-norm），表示所有坐标差值中的最大值。
• 这个条件的含义是：函数输出 $f(x^{\ast })$ 和输入 $x^{\ast }$ 在每个坐标上都非常接近，最大差距不超过 α。

如果 $\alpha =0$，就退化为真正的不动点条件：
$$f(x^{\ast })=x^{\ast }$$

5 近似不动点 = ε-Nash

5.1 理论理解

从博弈-->到函数
设想一个博弈，有 $n$ 个玩家，每个玩家的策略是一个概率分布（混合策略），这些策略组合成一个 策略空间（这是一个闭的、有界的、凸的集合）。
现在定义一个 函数 $f$：
输入：当前的策略组合 $x$（每个玩家的混合策略）
输出：每个玩家都根据当前策略，调整到自己最优反应方向 后得到的新策略组合

大家都不想改 = 不动点

如果 $x$ 是 $f$ 的不动点，也就是说：$$f(x)=x$$

意思是：
经过“每个人都改成自己最优反应”的步骤后，策略没变。也就是说，所有玩家在当前策略下已经是最优的，没有人有动力单方面改变，这恰好就是 Nash 均衡 的定义。

Nash均衡一定存在 & = 不动点一定存在
策略空间是闭、有界、凸的，函数 f 是连续的（因为收益函数是连续的）
Brouwer 不动点定理 保证：这样的 f 在这个空间里一定至少有一个不动点
所以一定存在至少一个 Nash 均衡

把“每个玩家的最优反应”做成一个连续函数 f，f 的不动点就是 Nash 均衡；Brouwer 不动点定理保证 f 一定有不动点，所以 Nash 均衡一定存在。

Nash 定理 可以用 Brouwer 不动点定理 证明：

连续函数在闭、有界、凸集上一定有不动点。

如果能找到一个 近似不动点，就能得到一个 ε-Nash equilibrium。

5.2 公式理解

α-approximate fixed point 是几何上“不动点的近似版本”。
我们真正想要的是博弈中的ε-Nash equilibrium。
在证明里，有一个结论（Fact 6.3）：

只要 α 满足一定的大小，就能把 α-近似不动点转成一个 ε-Nash equilibrium。

这个关系公式是：

$$\alpha =\frac{\epsilon }{d^2\cdot p_{\max }}$$

其中：

• $p_{\max }$ = 博弈中最大和最小收益的差
• $d$

$$d=\sum _{i\in [n]}|S_i|$$

• 这里 $d$ 表示所有玩家的 纯策略总数。
• $S_i$ 是第 $i$ 个玩家的纯策略集合，$|S_i|$ 是它的大小。
• 把每个玩家的纯策略数加起来，就是总的纯策略数量 $d$。

6 PPAD

6.1 PPAD 是啥？

PPAD = Polynomial Parity Argument on Directed graphs
直译：有向图上的多项式时间奇偶性论证

它是计算复杂性理论里的一个复杂度类，用来分类一些搜索问题。一类“总有解”的搜索问题（比如找不动点），但不一定容易算出来

归约关系：
$$\text{Nash equilibrium}\to \text{Brouwer}\to \text{Sperner}\to \text{End Of The Line}\to \text{PPAD}$$

已知：

• 精确 Nash equilibrium 是 PPAD-complete
• 含义：它可能非常难算（类似 NP-complete 问题的困难度）

6.2 PPAD 问题的特点

• 一定有解（因为有数学定理保证，比如不动点定理、奇偶性原理）
• 输入是一个特殊的有向图
  • 每个顶点最多有一个前驱、一个后继（所以它是由很多链组成）。
  • 给定一个起点（有后继但没有前驱）。

任务：找到另一个端点（有前驱没后继，或有后继没前驱）
难点：虽然一定有解，但不一定能多项式时间快速找到

6.3 代表问题：End Of The Line

代表问题： End Of The Line：在一个特殊的有向图里，从起点出发找到另一个没有前驱或后继的点。

想象一个迷宫，规则是：
每个房间最多有一条进路和一条出路。
你知道一个入口（起点）。
问题：找到出路
数学定理告诉你一定有另一个出路，但要在指数多的房间里找出来可能很难。

6.4 PPAD图End Of The Line的编码过程（考过）

6.4.1 目标（问题本身）

一个有向图：每个点最多 1 条入边、最多 1 条出边。已知一个端点（有后继但无前驱的起点）$s$。
任务：找出另一个端点（要么无后继，要么无前驱）

6.4.2 输入

输入不是一张完整的邻接表，而是下面这三样：

1. 一个正整数 (k)
   顶点集合被定义为所有 (k) 位二进制串：
   V={0,1}k(共有 2k个点)V = \{0,1\}^k \quad (\text{共有 } 2^k \text{ 个点}) V={0,1}k(共有 2k 个点)
   每一个点都被$k$位的二进制串表示了。

2. 两个多项式规模的布尔电路（或等价的多项式时间可计算函数）
   S,P:{0,1}k→{0,1}kS,\, P:\ \{0,1\}^k \to \{0,1\}^k S,P: {0,1}k→{0,1}k

   • $S(x)$： x 的后继（successor）
   • $P(x)$： x 的前驱（predecessor）

3. 一个指定的起点 s∈{0,1}ks \in \{0,1\}^ks∈{0,1}k（标准做法常取 $s=0^k$），满足：

   • 无前驱：$P(s)=s$（有的定义写成 $\perp$；为保持比特串，这里用“映回自身”表示“没有”）；
   • 有后继：$S(s)\ne s$。

这三样 k、电路 S,P、起点 s 就是图的全部输入。

6.4.3 边 $E$ 的定义

对任意顶点 v∈{0,1}kv \in \{0,1\}^kv∈{0,1}k，令 $u=S(v)$。

如果同时满足
$$u\ne v\text{且}P(u)=v,$$
就把一条边 $v\to u$ 放进图里；否则 $v$ 没有出边。

6.4.4 输出条件

一个点 $x$ 是 端点 当且仅当它的入度和出度不同为 1。
用编码可以快速判定：

• 无前继（源点）：$P(x)=x\text{且}S(x)\ne x$
• 无后继（汇点）：$S(x)=x\text{且}P(x)\ne x$

EoTL 的任务：
在已知的起点 $s$ 之外，找到任意一个这样的端点 $x\ne s$。

奇偶性（parity）保证：每条路径都有两个端点。
既然给了一个端点 $s$，图中必有另一个端点存在——但不保证容易找到，这就是 PPAD 的含义。

7 搜索问题

English

We call a problem a search problem if each instance $x$ has a search space $S_x$ of bit-strings of polynomial length (that is, polynomial in $|x|$) and the valid solutions are given by a non-empty subset $Q_x\subseteq S_x$. The set $Q_x$ must allow a polynomial-time test of membership, i.e., whether a $y\in S_x$ is contained in $Q_x$.

We also define reduction between search problems.
A reduction from one search problem ${\Pi }_1$ to another ${\Pi }_2$ is a pair of polynomial-time computable functions $(f,g)$, where $f$ maps instances of ${\Pi }_1$ to instances of ${\Pi }_2$ and $g$ maps solutions of ${\Pi }_2$ back to solutions of ${\Pi }_1$.
More precisely, for any instance $x\in {\Pi }_1$ we have $f(x)\in {\Pi }_2$, and for any solution $y$ of ${\Pi }_2$ on input $f(x)$, the string $g(x,y)$ is a valid solution of ${\Pi }_1$ on input $x$.

PPAD is the class of all search problems that reduce to EndOfTheLine in the way stated above.

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中文

我们称一个问题为 搜索问题：若对每个实例 $x$，存在一个由多项式长度（相对 $|x|$）比特串组成的搜索空间 $S_x$，并且有效解由一个非空子集 $Q_x\subseteq S_x$ 给出；同时，必须能够在多项式时间内判定任意 $y\in S_x$ 是否属于$Q_x$。

我们还定义搜索问题之间的 归约。
从搜索问题 ${\Pi }_1$ 到搜索问题 ${\Pi }_2$ 的归约是一对多项式时间可计算的函数 $(f,g)$：函数 $f$ 将 ${\Pi }_1$ 的实例映射为 ${\Pi }_2$ 的实例，函数 $g$ 将 ${\Pi }_2$ 的解映射回 ${\Pi }_1$ 的解。
更具体地，任意实例 $x\in {\Pi }_1$ 满足$f(x)\in {\Pi }_2$；并且对输入 $f(x)$ 的任意 ${\Pi }_2$ 的解 $y$，都有 $g(x,y)$ 是输入 $x$ 的 ${\Pi }_1$ 的一个有效解。

PPAD 定义为所有能够以上述方式归约到 EndOfTheLine 的搜索问题的集合。

说人话

搜索问题：一坨点集$S_x$，里面有部分点是我们要找的点$Q_x$。在规定时间内我们能判断任何一个点是不是我们要找的点。
归约：问题1 我们不会解，问题2 会解。把问题1的输入，转成问题2的输入。用问题2计算，把问题2的结果转成问题1的结果。别问为啥能相互转，学过函数懂的都懂。

我真搞不懂，为什么难的学术本质就是高中数学，但包装的鬼都看不懂。所谓故弄玄虚。

8 Sperner 引理 离散化

用 Sperner 引理 离散化：

1. 把空间切成小块
2. 给每个点涂色
3. 找到一个“完全着色”的小块 → 对应近似不动点

找 Nash equilibrium
→ 转成找不动点（Brouwer 定理）
→ 转成找完全着色的网格（Sperner 引理）
→ 转成 End Of The Line
→ PPAD