数据结构：中缀到后缀的转换（Infix to Postfix Conversion）
目录
一切的起点：我们习惯的数学写法（中缀表达式）
中缀表达式的问题：计算机的“困惑”
后缀表达式 (Postfix Notation)
前缀表达式 (Prefix Notation)
三种表达式的对比与用途
手动转换（Manual Conversion）
1. 遇到操作数（operand）（a, b, c, d, e）
2. 遇到操作符（operator）（+, *, -, /）
3. 遇到括号
4. 遇到字符串末尾
手动转换示例：a + b * c - (d + e)
一切的起点：我们习惯的数学写法（中缀表达式）
当我们要计算“3加4”，我们会怎么写？
我们自然而然地会写成 3 + 4。
在这个表达式里，操作符 + 被放在了两个操作数 3 和 4 的中间。这种将操作符放在中间的表示方法，就叫做中缀表达式 (Infix Notation)。
这是人类最习惯、最直观的读写方式。我们从小学的数学课本到大学的教科书，几乎所有的数学公式都是中缀表达式，例如： a + b - c , (a + b) * c。
中缀表达式的问题：计算机的“困惑”
我们来看一个稍微复杂一点的中缀表达式：3 + 4 * 5。
作为人类，我们受过训练，知道要“先算乘除，后算加减”。我们会先计算 4 * 5 = 20，然后再计算 3 + 20 = 23。
但如果一个计算机程序傻傻地从左到右读取这个表达式，它会怎么做？
-
读到
3 -
读到
+ -
读到
4，它可能会立刻计算3 + 4 = 7 -
读到
* -
读到
5，它接着计算7 * 5 = 35
结果是35，这显然是错误的。
中缀表达式对人类友好，但对计算机来说，存在两个巨大的问题：
-
运算顺序不确定：单纯从左到右的顺序，不一定是真正的运算顺序。
-
依赖额外规则：为了解决顺序问题，我们引入了两个额外的、对计算机来说很麻烦的规则：
-
优先级 (Precedence)：规定了
*和/的优先级高于+和-。 -
括号 (Parentheses)：我们可以用
( )强制改变运算顺序，例如(3 + 4) * 5。
-
这意味着，计算机在处理中缀表达式时，不能简单地进行线性读写，它需要反复扫描、需要内置一张优先级表、还需要处理复杂的括号嵌套逻辑。这套流程非常低效和复杂。
核心问题引出： 有没有一种表示方法，它本身就包含了运算顺序，完全不需要依赖优先级或括号，能让计算机从头到尾扫一遍就直接算出结果？
问题的解决方案：后缀和前缀表达式
为了解决计算机的“困惑”，数学家们（特别是波兰逻辑学家扬·武卡谢维奇）发明了两种新的表示法。
后缀表达式 (Postfix Notation)
核心思想： 将操作符放到两个操作数的后面。
-
3 + 4变成3 4 + -
a * b变成a b *
我们再来看 3 + 4 * 5 如何用后缀表示：
-
根据优先级，我们必须先算
4 * 5，它变成4 5 *。 -
现在，原表达式变成了计算
3加上(4 5 *)这个结果。 -
将加号
+放到后面，得到最终结果：3 4 5 * +
后缀表达式的魔力（计算机如何处理它）： 计算机拿到 3 4 5 * + 后，会这样做：
-
准备一个空的地方（其实就是栈）用来放数字。
-
从左到右扫描表达式：
-
遇到
3：是数字，放进栈。栈：[3] -
遇到
4：是数字，放进栈。栈：[3, 4] -
遇到
5：是数字，放进栈。栈：[3, 4, 5] -
遇到
*：是操作符！从栈里弹出两个数字（5和4），计算4 * 5 = 20，然后把结果20再放回栈。栈：[3, 20] -
遇到
+：是操作符！从栈里弹出两个数字（20和3），计算3 + 20 = 23，然后把结果23再放回栈。栈：[23]
-
-
表达式扫描完毕。栈里剩下的唯一一个数字，就是最终结果。
后缀表达式的结构完全消除了括号和优先级规则。它的运算顺序是唯一的、内嵌的。计算机只需要一个简单的从左到右的扫描和一个栈，就能高效地完成计算。因此，它也被称为逆波兰表示法 (Reverse Polish Notation, RPN)。
前缀表达式 (Prefix Notation)
核心思想： 将操作符放到两个操作数的前面。
-
3 + 4变成+ 3 4 -
a * b变成* a b -
3 + 4 * 5变成+ 3 * 4 5
它的计算过程与后缀类似，但通常是从右向左扫描。它同样消除了括号和优先级。它也被称为波兰表示法 (Polish Notation, PN)。
三种表达式的对比与用途
| 特性 | 中缀表达式 (Infix) | 后缀表达式 (Postfix/RPN) | 前缀表达式 (Prefix/PN) |
|---|---|---|---|
| 位置 | 操作符在操作数中间 | 操作符在操作数后面 | 操作符在操作数前面 |
| 人类可读性 | 高 | 低 | 低 |
| 计算机处理 | 复杂，需处理优先级和括号 | 简单高效，通常用栈实现 | 简单高效，通常用栈实现 |
| 明确性 | 有歧义（需额外规则） | 无歧义 | 无歧义 |
| 主要用途 | 人类日常书写和阅读 | 编译器和解释器（如JVM）、计算器、栈式编程语言（如Forth） | LISP等函数式编程语言 |
手动转换（Manual Conversion）
我们把用户输入的中缀表达式，转换成计算机擅长处理的后缀（或前缀）表达式，这个过程叫做编译或解析。它是一个“翻译”工作，目的是消除歧义，提升计算机的处理效率。
现在我们来推导手动转换的规则。我们需要一个最终的后缀表达式结果，和一个临时的“操作符中转站”（这个中转站其实就是个栈）。
我们以 a + b * c - (d + e) 为例。
1. 遇到操作数（operand）（a, b, c, d, e）
-
在后缀表达式中，操作数的相对顺序和中缀表达式中完全一样。
-
规则： 遇到操作数，直接输出到结果中。
2. 遇到操作符（operator）（+, *, -, /）
-
这是最复杂的部分，我们需要处理优先级。我们用“中转站”（栈）来暂存操作符。
-
情景A：中转站是空的，或栈顶是
(-
没有比它更早的操作符，或它是一个新子表达式的开始。直接把它放进中转站。
-
-
情景B：中转站里已经有操作符了
-
假设中转站栈顶是
op1，新来的操作符是op2。 -
如果
op2的优先级 >op1的优先级 (例如，*>+)-
op2对应的运算应该先于op1的运算。就像a+b*c，*应该先算。所以，我们让op2“插队”，把它也压入中转站，等待它的第二个操作数。 -
规则： 新操作符优先级高于栈顶操作符，则入栈。
-
-
如果
op2的优先级 <=op1的优先级 (例如，+<=*，或+<=+)-
op1对应的运算应该先算或至少不比op2晚。就像a*b+c，*必须先算。所以，我们不能把op2直接压进去。我们必须把中转站里优先级更高或相等的op1先“请”出来，输出到结果中，表示op1的运算先完成。 -
规则： 新操作符优先级低于或等于栈顶操作符，则将栈顶操作符弹出并输出，然后重复此过程，直到新操作符可以入栈或栈为空。
-
-
3. 遇到括号
-
遇到左括号
(-
左括号标志着一个高优先级的子区域的开始。它会无视任何已有的操作符优先级。
-
规则： 遇到
(，直接压入中转站。它将成为这个子区域的一个“边界墙”。
-
-
遇到右括号
)-
右括号意味着一个子区域的结束。中转站里，从最近的那个
(开始的所有操作符，都必须在这个子区域内完成计算。 -
规则： 遇到
)，将中转站里的操作符依次弹出并输出，直到遇到(为止。最后，将这个(也从栈中弹出并丢弃（因为它只起标记作用，不是运算的一部分）。
-
4. 遇到字符串末尾
-
整个表达式都看完了，但中转站里可能还剩下一些操作符。
-
规则： 将中转站（栈）里剩余的所有操作符，依次弹出并输出。
手动转换示例：a + b * c - (d + e)
| 当前字符 | 操作符中转站（栈） | 后缀表达式结果 | 解释 |
a | [] | a | 操作数，直接输出 |
+ | [+] | a | 栈空，+ 入栈 |
b | [+] | a b | 操作数，直接输出 |
* | [+, *] | a b | * 优先级高于 +，入栈 |
c | [+, *] | a b c | 操作数，直接输出 |
- | [ - ] | a b c * + | - 优先级低于 *，弹出*；-优先级等于+，弹出+；然后-入栈。 |
( | [-, (] | a b c * + | ( 直接入栈 |
d | [-, (] | a b c * + d | 操作数，直接输出 |
+ | [-, (, +] | a b c * + d | 栈顶是 (，+直接入栈 |
e | [-, (, +] | a b c * + d e | 操作数，直接输出 |
) | [ - ] | a b c * + d e + | 遇到)，弹出+并输出，直到遇到(, 并丢弃( |
| 末尾 | [] | a b c * + d e + - | 字符串结束，弹出栈中剩余的- |
最终结果：a b c * + d e + -
未完待续…………