一、线性规划

1.1 线性规划问题

1.1.1 线性规划的定义

  线性规划（Linear Programming）是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。

1.1.2 线性规划问题的解

  一般线性规划问题的（数学）标准模型为：
$$\begin{gathered} \max z=\sum _{j=1}^n{c}_j{x}_j \\ s.t.\{\begin{array}{l}{\sum }_{j=1}^n{a}_{i,j}{x}_j=b_i,i=1,2,...,m\\ x_j\ge 0,j=1,2,...,n\end{array} \end{gathered}$$
其中，$b_i\ge 0$。
可行解：满足约束条件的解，使目标函数达到最值的可行解成为最优解。
可行域：所有可行解构成的集合，记为R。

1.1.3 线性规划的Matlab标准形式及求解

$$\begin{gathered} min{f}^{T}x \\ s.t.\{\begin{array}{c}A\cdot x\le b,\\ Aeq\cdot x=beq,\\ lb\le x\le ub\end{array} \end{gathered}$$
其中，$f,x,b,beq,lb,ub$为列向量，$f$称为价值向量，$b$称为资源向量；$A,Aeq$为矩阵。
Matlab中求解线性规划的命令为：

[x,fval] = linprog(f,A,b)
[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq)
[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x返回决策变量的取值；fval返回目标函数的最优值。

c=[2;3;1];
A=[1,4,2;3,2,0];
b=[8;6];
[x,y]=linprog(c,-A,-b,[],[],zeros(3,1))

1.1.4 可转化为线性规划的问题