【树\思维】P1395 会议

题目描述

有一个村庄居住着 $n$ 个村民，有 $n-1$ 条路径使得这 $n$ 个村民的家联通，每条路径的长度都为 $1$。现在村长希望在某个村民家中召开一场会议，村长希望所有村民到会议地点的距离之和最小，那么村长应该要把会议地点设置在哪个村民的家中，并且这个距离总和最小是多少？若有多个节点都满足条件，则选择节点编号最小的那个点。

输入格式

第一行，一个数 $n$，表示有 $n$ 个村民。

接下来 $n-1$ 行，每行两个数字 $a$ 和 $b$，表示村民 $a$ 的家和村民 $b$ 的家之间存在一条路径。

输出格式

一行输出两个数字 $x$ 和 $y$。

$x$ 表示村长将会在哪个村民家中举办会议。

$y$ 表示距离之和的最小值。

输入输出样例

输入 #1

4
1 2 
2 3 
3 4

输出 #1

2 4

说明/提示

对于 $70\%$ 数据 $n\le 10^3$。

对于 $100\%$ 数据 $n\le 5\times 10^4$。

思路

考虑以节点 $1$ 为根节点建立树，并用 dfs 求出每个节点子树的节点个数，记作 $so{n}_i$，同步可以求出以 $1$ 为会议地点所需的距离总和，只需要在回溯时将 $an{s}_{dis}\leftarrow an{s}_{dis}+so{n}_i$ 即可，代表所有属于该节点为根的子树的节点全部需要多走 $1$ 个单位长度才能到达该节点的父亲节点。

我们考虑会议地址不在 $1$ 上的情况，不妨令 $t$ 为 $1$ 的其中一个子节点，则容易发现，当我们把会议地址从 $1$ 换到 $t$ 的时候， $t$ 所有子树上的节点到会议地址的距离都少了 $1$，整个树上不在以 $t$ 为根的子树上的其他节点到会议地址的距离都加了 $1$，故转移可以写为：

$$an{s}_{dis}=\min (an{s}_{dis},an{s}_{dis}+so{n}_t-(so{n}_1-so{n}_t))$$

对于子树转移同理，只需要运行 $2$ 次 dfs 算法，每次都遍历一整个大小为 $n$ 的树，总共时间复杂度为 $O(n)$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,head[50005],nex[100005],to[100005],cnt = 0;
void add(int x,int y) {nex[++cnt] = head[x];head[x] = cnt;to[cnt] = y;
}
int son[50005]; 
int ans_point,ans_dis;
void dfs(int now,int fa) {son[now]++;for(int i = head[now];i;i = nex[i]) {if(to[i] != fa) {dfs(to[i],now);son[now] += son[to[i]];ans_dis += son[to[i]];}}
}
void find_ans(int now,int fa,int dis) {if(now != 1) {dis -= son[now];dis += (son[1] - son[now]);if(dis < ans_dis or (dis == ans_dis and ans_point > now)) {ans_dis = dis,ans_point = now;}}for(int i = head[now];i;i = nex[i]) {if(to[i] != fa) {find_ans(to[i],now,dis);}}
}
signed main() {scanf("%lld",&n);for(int i = 1;i < n;i++) {int x,y;scanf("%lld %lld",&x,&y);add(x,y),add(y,x);}dfs(1,1);ans_point = 1;find_ans(1,1,ans_dis);printf("%lld %lld\n",ans_point,ans_dis);return 0;
}