【高等数学】第八章 向量代数与空间解析几何——第六节 空间曲线及其方程

上一节：【高等数学】第八章 向量代数与空间解析几何——第五节 曲面及其方程
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1. 空间曲线的一般方程

• 空间曲线可以看做两个曲面的交线. 设
  $$F(x,y,z)=0\text{和}G(x,y,z)=0$$是两个曲面的方程,则方程组$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0.\end{array}$$就是这两个曲面的交线$C$的方程,这方程组(6-1)也叫做空间曲线$C$的一般方程.

2. 空间曲线的参数方程

• 将$C$上动点的坐标$x$、$y$和$z$表示为参数$t$的函数:$$\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y=y(t),\\ z=z(t).\end{array}$$该方程组叫做空间曲线的参数方程.
• 曲面的参数方程通常是含两个参数的方程，形如$$\{\begin{array}{l}x=x(s,t),\\ y=y(s,t),\\ z=z(s,t).\end{array}$$

3. 空间曲线在坐标面上的投影

• 以曲线$C$为准线、母线平行于$z$轴(即垂直于$xOy$面)的柱面叫做曲线$C$关于$xOy$面的投影柱面，投影柱面与$xOy$面的交线叫做空间曲线$C$在$xOy$面上的投影曲线，或简称投影.
  消去方程组中的$z$，得到的方程与$z=0$联立得$$\{\begin{array}{l}H(x,y)=0,\\ z=0\end{array}$$所表示的曲线必定包含空间曲线$C$在$xOy$面上的投影.

  考虑曲线$\{\begin{array}{l}xz=1,\\ yz=1\end{array}$，它表示点集$\{(x,x,\frac{1}{x})|x\ne 0\}$，消去z，得$x=y$，此时方程组$$\{\begin{array}{l}x=y,\\ z=0\end{array}$$除了包含投影外，还额外包含点$(0,0,0)$

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