第2章算法分析：其他渐进复杂度符号

2.4.4 拓展：其他渐进复杂度符号

1. 大 $\Omega$ 符号

算法复杂度的最好情况，即算法运行时间的下界。

如果存在正的常数 $c$ 和函数 $g(n)$ ，使得对于任何 $n\gg 2$ 都有 $T(n)\ge c\cdot g(n)$ ，就可以认为，在 $n$ 足够大之后，$g(n)$ 是 $T(n)$ 的一个下界。此时，记之为：

$$T(n)=\Omega (g(n))$$

这里的 $\Omega$ 称作大 $\Omega$ 符号。

与大 $O$ 符号相反，大 $\Omega$ 符号是对算法执行效率的乐观估计——对于规模为 $n$ 的任意输入，算法的运行时间都不低于 $\Omega (g(n))$ 。

2. 大 $\Theta$ 符号

$T(n)=O(f(n))$ 说明 $O(f(n))$ 是时间复杂度的上界；$T(n)=\Omega (g(n))$ 说明 $\Omega (g(n))$ 是时间复杂度的下界，即 $T(n)$ 介于二者之间。

如果存在正的常数 $c_1<c_2$ 和函数 $h(n)$ ，使得对于任何 $n\gg 2$ 都有 $c_1\cdot h(n)\le T(n)\le c_2\cdot h(n)$ ，就可以认为在 $n$ 足够大之后，$h(n)$ 给出了 $T(n)$ 的一个确界，记作：

$$T(n)=\Theta (h(n))$$

这里的 $\Theta$ 称作大 $\Theta$ 符号。它是对算法复杂度的准确估计——对于规模为 $n$ 的任何输入，算法的运行时间 $T(n)$ 都与 $\Theta (h(n))$ 同阶。

此外，还有“小 o 符号”，表示严格上界；“小 $\omega$ 符号”，表示严格下界。