优选算法 力扣 202.快乐数 快慢双指针 解决带环问题 C++解题思路 每日一题

零、题目描述

题目链接：快乐数

题目描述：

示例 1：
输入：n = 19
输出：true
解释：
1² + 9² = 82
8² + 2² = 68
6² + 8² = 100
1² + 0² + 0² = 1

示例 2：
输入：n = 2
输出：false

提示：
1 <= n <= 2^31 - 1

一、为什么这道题值得你花几分钟看懂？

快乐数的判定问题，看似是数学序列的游戏，实则藏着算法中“模型转化”的精髓。它的价值在于：让你学会如何把一个看似陌生的问题，套进熟悉的解题框架里。

当你计算数字的平方和时，会发现序列的演变路径和链表惊人地相似——每个数字都像一个节点，平方和的计算过程就是节点指向的“指针”。而题目中“无限循环”的特性，本质上就是链表中“环”的具象化。这种转化能力，能帮你打通 快乐数 与 环形链表（LeetCode 141）的思维壁垒：

• 就像环形链表中用快慢指针判断是否有环一样，快乐数中同样可以用快慢指针捕捉循环
• 环形链表找环的入口对应快乐数中循环的起点，而1这个特殊值则对应“无环且终点为1”的理想情况

搞定这道题，你不仅能掌握快慢指针的另一种妙用，更能学会“透过现象看本质”——当未来遇到新问题时，会下意识地思考：“它和我学过的哪个模型相似？” 这种联想能力，才是算法进阶的关键。

如果对环形链表的快慢指针玩法还不熟悉，建议先攻克LeetCode 141，再回头看这道题，会有“原来如此”的顿悟感~

二、从“序列特性”到“环模型”：思路的转化

1. 分析快乐数的判定过程

对于一个数n，按照规则计算每个位置上数字的平方和，会得到一个新的数，不断重复这个过程，会形成一个序列。例如对于19：
19 → 82 → 68 → 100 → 1 → 1 → …

这个序列有两种可能的结局：

• 最终会得到1，之后一直保持1，这样的数就是快乐数。
• 进入一个循环，永远不会得到1，这样的数就不是快乐数。

2. 发现与链表环的相似性

观察这个序列，每个数都可以看作是一个节点，从一个数到它的平方和的过程就如同链表中的指针指向。如果序列进入循环，就相当于链表中出现了环。

例如对于不快乐的数2：
2 → 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → …
从4开始进入了循环，就像链表中4这个节点之后形成了环。

3. 突破口：用判断链表环的方法解决问题

既然快乐数的判定过程可以转化为判断序列是否有环，以及环的入口是否为1，那么判断链表是否带环的快慢指针法就可以派上用场了：

• 慢指针每次计算一次平方和。
• 快指针每次计算两次平方和。
• 如果最终快慢指针相遇时的值为1，就是快乐数；否则，就不是。

三、快慢指针实现：判断循环与结果

1. 辅助函数：计算数字的平方和

首先需要一个函数来计算一个数每个位置上数字的平方和：

int bitsum(int n)
{int sum = 0;while (n){int t = n % 10; // 取出最后一位数字sum += t * t;   // 累加该数字的平方n /= 10;        // 去掉最后一位数字}return sum;
}

2. 快慢指针的应用

• 初始化慢指针slow为n，快指针fast为n的平方和（即bitsum(n)）。
• 循环执行：慢指针每次计算一次平方和，快指针每次计算两次平方和，直到快慢指针相等。
• 最后判断快慢指针相遇时的值是否为1，若是则返回true，否则返回false。

bool isHappy(int n) 
{int slow = n, fast = bitsum(n);while (slow != fast){slow = bitsum(slow);          // 慢指针走一步fast = bitsum(bitsum(fast));  // 快指针走两步}  return slow == 1; // 相遇时为1则是快乐数
}

四、完整代码与解析

完整代码（附详细注释）

class Solution {
public:// 计算一个数每个位置上数字的平方和int bitsum(int n){int sum = 0;while (n){int t = n % 10; // 取出最后一位数字sum += t * t;   // 累加该数字的平方sum += t * t;n /= 10;        // 去掉最后一位数字}return sum;}bool isHappy(int n) {// 初始化慢指针为n，快指针为n的平方和int slow = n, fast = bitsum(n);// 当快慢指针不相等时，继续循环while (slow != fast){slow = bitsum(slow);          // 慢指针每次计算一次平方和fast = bitsum(bitsum(fast));  // 快指针每次计算两次平方和}  // 当快慢指针相等时，如果值为1则是快乐数，否则不是return slow == 1;}
};

代码走读（示例1：n = 19）

1. 初始化：slow = 19，fast = bitsum(19) = 1² + 9² = 82
2. 第一次循环：slow != fast
   • slow = bitsum(19) = 82
   • fast = bitsum(bitsum(82)) = bitsum(8² + 2²) = bitsum(68) = 6² + 8² = 100
3. 第二次循环：slow != fast
   • slow = bitsum(82) = 68
   • fast = bitsum(bitsum(100)) = bitsum(1² + 0² + 0²) = bitsum(1) = 1
4. 第三次循环：slow != fast
   • slow = bitsum(68) = 100
   • fast = bitsum(bitsum(1)) = bitsum(1) = 1
5. 第四次循环：slow != fast
   • slow = bitsum(100) = 1
   • fast = bitsum(bitsum(1)) = bitsum(1) = 1
6. 此时slow == fast，退出循环，返回slow == 1，即true

复杂度分析

复杂度类型	具体值	说明
时间复杂度	O(log n)	对于每次计算平方和，数字的位数大约是log n（以10为底），而快慢指针相遇的次数是有限的，整体可看作O(log n)
空间复杂度	O(1)	只使用了常数个额外变量

五、常见问题与解决方案

1. 为什么快慢指针一定会相遇？

   • 因为数字的平方和序列要么最终得到1，要么进入循环。当进入循环时，快指针速度比慢指针快，最终一定会追上慢指针，即相遇。

2. 为什么相遇时如果是1就是快乐数？

   • 因为如果是快乐数，序列最终会稳定在1，此时快慢指针都会指向1，所以相遇时为1；如果不是快乐数，序列会进入一个不含1的循环，相遇时就不是1。

3. 计算平方和时需要考虑负数吗？

   • 不需要，因为题目中n是正整数，且平方和的计算结果也一定是非负的，而正整数的平方和计算过程中不会出现负数。

六、举一反三

这道题的快慢指针思路可推广到：

• 检测循环：任何可能出现循环的序列问题，都可以用快慢指针来判断是否有循环以及循环的位置。
• 优化查找：在一些需要重复计算的问题中，可通过快慢指针减少计算次数，提高效率。

下一题预告：LeetCode 11. 盛最多水的容器！这道题会让你亲眼见证双指针的 “收缩魔法”—— 明明是看似需要枚举所有可能的问题，却能通过巧妙移动左右边界，用 O (n) 时间找到最优解。想象一下：两根柱子立在坐标系里，如何快速找到间距与高度的完美平衡？明天的解析会带你拆解其中的贪心逻辑，看完你一定会惊叹：“原来还能这么算！”

最后欢迎大家在评论区分享你的代码或思路，咱们一起交流探讨~ 🌟 要是有大佬有更精妙的思路或想法，恳请在评论区多多指点批评，我一定会虚心学习，并且第一时间回复交流哒！

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