C++ sort比较规则需要满足严格弱序

1. 起因

刷题时，遇到的一个问题。

C++自定义$sort$的排序规则<，发生的情况。

有两种异常的表现：

• 一是程序直接中断退出
• 二是程序直接卡死在cmp函数

由于是ub，所以发生什么都不奇怪了。

2. 解决

后来查资料才知道，c++容器在排序时都需要满足严格弱序。

那么什么是严格弱序呢？

2.1 严格弱序

我们时常用到的< <=数学符号，其实都是定义在一个集合中的二元关系。

这些概念在离散数学中有涉及，可以自行查阅相关资料。

对于我们使用的一些二元关系，他们需要满足一定的性质。

而严格弱序需要满足

• 非自反：$a<a$ 为假，通俗讲就是一个元素不小于自身
• 传递性：$a<b\cap b<c\to a<c$，这个比较好理解，就是$a$比$b$小，$b$比$c$小，那么$a$比$c$小
• 非对称性：$a<b\to \neg (b<a)$，也就是如果$a$小于$b$为真了，那么$b$小于$a$一定为假
• 非可比的传递性：
  • 简单说下可比性$(a<b)\cup (b<a)$为真，也就是两个元素至少有一个小于另外一个为真。
  • 非可比传递性，也就是$a$跟$b$不可比较，$b$跟$c$不可比较，那么$a$跟$c$也不可比较

其中的非称性可以由非自反性和传递性推导出来，

因此可以直接省略掉。

而在C++ reference中也正是这么做的。

这里的$e(a,b)$其实就是$a,b$之间不可比。

而不可比由于条件本身就满足自反和对称

$$\begin{gathered} a/Ra\to e(a,a) \\ e(a,b)\leftrightarrow e(b,a) \end{gathered}$$
，而给出的第三条就是

传递性。因此这里定义的不可比性就是一个等价关系。

最后一句$r$在$e$确定的等价类上诱导一个严格全序的意思是，我们把

这些元素根据不可比性质分类，比如$e(a,b)$，就把$a,b$划分到一个等价

类$[a]$中去了，同样$c,d$不可比，划分到同一等价类$[c]$中去。对于不同

等价类中的元素的它们肯定是可比的，因此我们就可以选个代表进行

比较了，如$b\in [a],d\in [c],b<d\vee d<b$。

而这些代表间肯定都有大小之分，因此就成了严格全序。

2.2 代码分析

错误的自定义代码如下

struct info {info(int fi_, int li_, int cnt_): fi(fi_), li(li_),cnt( cnt_ ) {}bool operator < (const info &f) const {if (f.fi == -1 || fi == -1)return fi == -1;if (f.cnt != cnt)return cnt < f.cnt;return li - fi > (f.li - f.fi);}int fi;int li;int cnt;
};

我由于用$fi=-1$来表示未输入的默认的情况，但是在两个默认值比较时

$<$返回的都是true，也就不满足$a<a$为false这一条了。

修正只需要去掉对$fi$判断就可以了。由于两个默认值肯定是相

同的，所以最终两个默认值返回的都是false。

3. 参考

wiki-weak-ordering
cppreference