【高等数学】第七章 微分方程——第五节 可降阶的高阶微分方程

上一节：【高等数学】第七章 微分方程——第四节 一阶线性微分方程
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• 二阶及二阶以上的微分方程，即所谓高阶微分方程
• 对于有些高阶微分方程，我们可以通过代换将它化成较低阶的方程来求解

1. $y^{(n)}=f(x)$型的微分方程

• 形态
  微分方程
  $$y^{(n)}=f(x)$$
  的右端仅含有自变量$x$
• 解法
  只要把$y^{(n-1)}$作为新的未知函数，那么微分方程就是新未知函数的一阶微分方程.
  两边积分，就得到一个$n-1$阶的微分方程
  依次类推，连续积分$n$次，便得含有$n$个任意常数的通解

2. $y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$型的微分方程

• 形态
  方程
  $$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$$
  的右端不显含未知函数$y$
• 解法
  令$p=y^{\prime }$，方程可化为一阶线性微分方程$p^{\prime }=f(x,p)$
  设通解为$p=\phi (x,C_1)$
  将$p=y^{\prime }=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$回代
  又得到了一个一阶线性微分方程$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\phi (x,C_1)$
  其通解为$y=\int \phi (x,C_1)\mathrm{d}x+C_2$

3. $y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$型的微分方程

• 形态
  方程
  $$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$$
  中不明显地含自变量$x$
• 解法
  令$p=y^{\prime }$，$y^{\prime \prime }=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$
  微分方程就化为了一阶线性微分方程$p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}=f(y,p)$
  通解为$p=y^{\prime }=\phi (y,C_1)$
  分离变量并积分得
  通解为$\int \frac{\mathrm{d}y}{\phi (y,C_1)}=x+C_2$

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