NFLSOI 7.25 题解

C.#16047数列 / AT_abc265_d Iroha and Haiku

题意

给定一个长度为 $N$ 的数列 $A=(A_0,\dots ,A_{N-1})$。
请判断是否存在整数四元组 $(x,y,z,w)$，满足以下所有条件：

• $0\le x<y<z<w\le N$
• $A_x+A_{x+1}+\dots +A_{y-1}=P$
• $A_y+A_{y+1}+\dots +A_{z-1}=Q$
• $A_z+A_{z+1}+\dots +A_{w-1}=R$

$3\le N\le 2\times 10^5$，$1\le A_i\le 10^9$，$1\le P,Q,R\le 10^{15}$，输入中的所有数值均为整数。

思路

像先用单调指针找到 $x,y$，然后向后推着做，无奈只有 92pts，原因是可能存在很多对 $(x,y)$，$y$ 的不固定会影响后面找 $z$。遂换更暴力优美的做法。

考虑到前缀和各自不同，因此考虑所有的前缀和 $s_i$ 扔进 set 里面，枚举一个存在的前缀和 $s_0$，并判断 $s_0+p$，$s_0+p+q$，$s_0+p+q+r$ 是否存在即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll n,p,q,r;
ll i,x,sum;
set<ll>S;
int main()
{S.insert(0);scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&p,&q,&r);for(i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&x);sum+=x;S.insert(sum);}for(auto x:S){if(S.find(x+p)!=S.end()&&S.find(x+p+q)!=S.end()&&S.find(x+p+q+r)!=S.end()){puts("Yes");return 0;}}puts("No");return 0;
}

E.#1909 种橙子 / 洛谷 P7301 Strah

题意

Mirko 最害怕的是寻找合适的土地来种植草莓。他的土地可以用一个 $N\times M$ 的矩阵来表示。土地中有些田地适合种植草莓，而有些不适合，因为那里杂草丛生。

Mirko 正在寻找一块合适矩形。当土地中有一块矩形区域包含的所有田地均适合种植草莓，则该矩形被称为合适矩形。

Mirko 还对所有田地的潜力值感兴趣。一块田地的潜力值定义为包含该田地的合适矩形的个数。

求 Mirko 所有田地的潜力值之和。

$1\le N,M\le 2000$。

题意

考虑固定枚举每一列 $j$，作为矩形右边所在直线。记 $x{b}_{i,j}$ 表示，以 $(i,j)$ 为右端点，在第 $i$ 行能向左延伸的最多格子数。

维护一个单调栈，从上到下枚举第 $i$ 行，每次栈顶加入决策点 $xb(i,j)$ 使得栈的元素递增，得到宽为 $xbi,j$、高为栈的元素个数的矩形。之后计算矩形内组成多少新增的（包含枚举的第 $i$ 行的）矩形。

栈维护的形状类似这样，红色实线所在行表示在栈种的决策行 $i$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=2003;
ll n,m;
char c[N][N];
vector<ll>blk[N];
ll xb[N][N];//左边最长延伸 
ll stk[N],top;
ll s(ll x)
{return x*(x+1)/2;
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){cin>>c[i][j];if(c[i][j]=='#')blk[j].push_back(i),xb[i][j]=0;else xb[i][j]=xb[i][j-1]+1;}}for(int j=1;j<=m;j++)blk[j].push_back(n+1);ll ans=0;for(int j=1;j<=m;j++){top=0;stk[++top]=0;for(int i=1;i<=n;i++){while(top>1&&xb[stk[top]][j]>=xb[i][j])top--;stk[++top]=i;for(int k=top;k>=2;k--)ans+=s(xb[stk[k]][j])*(s(i-stk[k-1])-s(i-stk[k]));//减去先前的列防止算重，算的是左不大于xb(i,j)的列 //变成阶梯状，左边最长延伸，从下到上递减 //以第i行为底边，计算 i-stk[k] ~ i-stk[k-1] 之间形成的子矩形}}printf("%lld",ans);return 0;
}