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36.Manacher 算法

news 2025/8/2 6:02:03

一、基本介绍

本节我们将介绍一种算法来解决一类关于回文字符串的问题。给定一个长度为 $n$ 的字符串 $s$ ，请找到所有使得子串 $\dots j]$ 为一个回文串的二元组 $(i, j)$ 。当 $s=srevs=s_{\text{rev}}$ 时，我们说字符串 $s$ 是一个回文串， $srevs_{\text{rev}}$ 被定义为 $s$ 的反转字符串。

本节所要讲的算法名叫 Manacher 算法，它是一个能够在线性时间内得到一个字符串中最长回文子串的算法，性能比其他的算法，如字符串哈希还要优秀，且不会被特殊数据卡住。Manacher 算法的核心思想和 KMP 算法非常相似，都是利用已经计算过的信息来加快字符串的匹配进程。目前 Manacher 算法是处理回文串最有效的工具之一。

二、算法分析

我们可以知道在最坏情况下，例如对于字符串 $s = aaaa ... a$ 来说有 $n^2$ 个回文串，因此该问题似乎并无线性算法。首先我们面临一个问题，那就是我们如何处理奇数回文串和偶数回文串这两种不同情况。我们可以采取如下处理方式：

假设存在一个长度为奇数的字符串 $s t r = abbabba$
我们可以将其转化为一个新的字符串 $s = * @ a @ b @ b @ a @ b @ b @ a @!$
原则是首尾两个字符不同，和中间的字符也不同（防止出现访问越界），中间所有字符相同。

1.求解最终答案

为了引出 Manacher 算法 我们下面给出一种关于回文串的信息的更紧凑表达方式：对于每个位置 $\dots n-1$ ，我们找出值 $d [i]$ 。 $d [i]$ 表示以位置 $i$ 为中心的回文串个数。换个角度，二者也表示了以位置 $i$ 为中心的最长回文串的半径长度（半径长度 $d [i]$ 为从位置 $i$ 到回文串最右端位置包含的字符个数。与此同时 $d [i]$ 也可以表示以 $i$ 为中心的最长回文串的长度。

我们首先考虑下面我们给出一个结论， $an s = d [i] - 1$ ，我们在这里以举例的方式简单说明，现在我们来观察一下这个新字符串 $s$ ：

以我们的 $s [8] = a$ 为中心的回文串向右最大拓展长度 $+ 1$ 即为 $d [8] = 8$ ，而回到原字符串，我们知道以 $s t r [3]$ 为中心的最大回文字串长度为 $7 = d [8] - 1$ 。
以我们的 $s [5] = @$ 为中心的回文串向右最大拓展长度 $+ 1$ 即为 $d [5] = 5$ ，而回到原字符串，我们知道以 $s t r [1, 2]$ 为中心的最大回文字串长度为 $4 = d [5] - 1$ 。
由此可以得到结论， $ans=max⁡(d[i]−1)ans=\max(d[i]-1)$ 。

2.求解数组 $d [i]$

下面我们来介绍应该如何求解数组 $d [i]$ ，也就是 Manacher 算法的核心部分。假设此时我们已经得到 $d[0]∼d[i−1]d[0]\sim d[i-1]$ ，那么现在来求 $d [i]$ 。

现在我们结合下图来做具体分析：

在这里插入图片描述

$m x$ 表示前面的所有结果中向右扩展得最多的 $d$ ， $i d$ 表示 $m x$ 对应的中心字符位置。
因为 $i≥mxi\geq mx$ 时很简单，我们只需要暴力拓展即可，因为后面的都是未计算内容。下面我们只分析 $i < m x$ 的情况。
我们可以找到 $i$ 关于 $i d$ 的对称点 $i′=2⋅id−ii'=2\cdot id-i$ ，而 $d [i^{'}]$ 我们是知道的（即绿色弧线部分），根据对称性，理想的回文即为绿色部分。
如果 $i + d [i^{'}] > m x$ ，那么 $d [i] = m x - i$ 。因为超过的部分（即红色区块）根据关于 $i d$ 的对称性可知道是以 $i d$ 为中心的回文串没有拓展到的位置，因为 $m x$ 就是最大拓展，即说明不对称。而根据定义在 $m x$ 以内是满足对称的（即蓝色区块），所以 $d [i] = m x - i$ 。
而当 $\leq mx$ 时，显然这时候以 $i d$ 为中心， $m x$ 为半径的字串是对称的。 $i + d [i^{'}]$ 被包含在这个区间内，而 $i + d [i]$ 和 $m x$ 中间部分无法计入答案的原因是，根据对称性， $i^{'}$ 无法匹配到，那么 $i$ 也无法匹配到。所以 $d [i] = d [i^{'}]$ 。

所以综上所述，在 $i < m x$ 时， $d[i]=min⁡(mx−i,d[2⋅id−i])d[i]=\min(mx-i,d[2\cdot id-i])$ 。下面是核心代码：

d[0]=0;
ll mx = 0, ans = 0, id = 0;
for(ll i = 1; i < count1; i++)
{if(i < mx)d[i] = min(mx - i, d[2 * id - i]);elsed[i] = 1;while(s[i - d[i]] == s[i + d[i]])d[i]++;if(i + d[i] > mx){mx = d[i] + i;id = i;ans = max(ans, d[i] - 1);}
}