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LeetCode 214：最短回文串

news 2025/7/31 3:23:17

LeetCode 214：最短回文串

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问题定义与核心挑战

给定字符串 s，需通过在前面添加字符将其转换为回文串，求最短的 such 回文串。例如：

输入 s = "abcd" → 输出 dcbabcd（添加 dcb 到前面）。
核心挑战：如何高效找到 最长回文前缀（从开头开始的最长回文子串），从而最小化添加的字符数。

核心思路：KMP 的 LPS 数组

利用 KMP 算法的最长公共前后缀（LPS）数组，将问题转换为寻找字符串的对称结构：

构造辅助串：t = s + "#" + reverse(s)（# 避免前缀和后缀过度重叠）。
计算 LPS 数组：LPS 数组的最后一个元素值，即为 s 的最长回文前缀长度。
构造结果：将 s 中最长回文前缀之后的部分反转，添加到原字符串前。

算法步骤详解

步骤 1：反转字符串，构造辅助串 `t`

反转 s 得到 rev_s，构造 t = s + "#" + rev_s。
作用：通过 t 的 LPS 数组，找到 s 的前缀与 rev_s 的后缀的最长匹配（该匹配对应 s 的最长回文前缀）。

String rev_s = new StringBuilder(s).reverse().toString();
String t = s + "#" + rev_s;

步骤 2：计算 LPS 数组（KMP 核心）

LPS 数组定义：lps[i] 表示 t[0..i] 的最长公共前后缀长度（前缀和后缀相同的最长子串长度）。

计算逻辑：

初始化 len = 0（当前最长公共前后缀长度），lps[0] = 0。
遍历 t（从 i=1 开始）：
- 若 t[i] == t[len]，则 len++，lps[i] = len，i++。
- 若不匹配，若 len > 0，则 len = lps[len-1]（回退到之前的有效长度）；否则 lps[i] = 0，i++。

int[] lps = new int[t.length()];
int len = 0; // 当前最长公共前后缀长度
for (int i = 1; i < t.length(); ) {if (t.charAt(i) == t.charAt(len)) {len++;lps[i] = len;i++;} else {if (len > 0) {len = lps[len - 1]; // 回退} else {lps[i] = 0;i++;}}
}

步骤 3：构造最短回文串

最长回文前缀长度为 lps[t.length()-1]（LPS 数组最后一个元素）。
截取 s 中最长回文前缀之后的部分（s.substring(max_len)），反转后添加到原字符串前。

int max_len = lps[t.length() - 1];
String add = new StringBuilder(s.substring(max_len)).reverse().toString();
return add + s;

关键逻辑解析

1. 辅助串 `t` 的作用

t = s + "#" + rev_s 确保 s 的前缀与 rev_s 的后缀匹配时，不会跨 s 和 rev_s 的边界（如 s=aaaa，rev_s=aaaa，不加 # 会导致匹配长度为 8，而实际最长回文前缀是 4）。

2. LPS 数组的意义

lps[t.length()-1] 表示 s 的前缀与 rev_s 的后缀的最长匹配长度，该长度对应 s 的最长回文前缀长度（因为 rev_s 是 s 的反转，匹配的前缀必然是回文）。

3. 时间复杂度

构造 t：O(n)（n 是 s 的长度）。
计算 LPS 数组：O(n)（每个字符最多入队、出队一次）。
反转和拼接：O(n)。
整体复杂度：O(n)，高效处理大输入（如 n=5×10⁴）。

完整代码（Java）

public class Solution {public String shortestPalindrome(String s) {// 处理空字符串if (s == null || s.isEmpty()) {return "";}// 步骤1：反转字符串，构造辅助串 t = s + "#" + rev_sString rev_s = new StringBuilder(s).reverse().toString();String t = s + "#" + rev_s;// 步骤2：计算 LPS 数组int[] lps = new int[t.length()];int len = 0; // 当前最长公共前后缀的长度for (int i = 1; i < t.length(); ) {if (t.charAt(i) == t.charAt(len)) {len++;lps[i] = len;i++;} else {if (len > 0) {// 回退到前一个可能的长度len = lps[len - 1];} else {lps[i] = 0;i++;}}}// 步骤3：构造最短回文串int max_len = lps[t.length() - 1];String add = new StringBuilder(s.substring(max_len)).reverse().toString();return add + s;}
}

示例验证（以示例 2 为例）

输入：s = "abcd"

反转与构造 t：rev_s = "dcba"，t = "abcd#dcba"。
计算 LPS 数组：最后一个元素 lps[8] = 1（最长匹配长度为 1，即 s 的最长回文前缀是 "a"）。
构造结果：s.substring(1) = "bcd"，反转后为 "dcb"，最终结果 dcb + abcd = "dcbabcd"，与示例一致。