Tchebycheff变换简介

前言

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Tchebycheff变换：多目标优化的数学桥梁

核心思想：将多目标优化问题转化为最小化"最大加权偏差"的单目标问题，通过权重向量灵活调控各目标的优先级。

一、数学原理

对于包含$m$个目标的最小化问题：
$$\min F(x)=[f_1(x),f_2(x),\dots ,f_m(x)]$$

Tchebycheff变换定义为：
min⁡gTCH(x∣λ,z∗)=max⁡1≤i≤m{λi⋅∣fi(x)−zi∗∣}\min g^{TCH}(x|\lambda,z^*) = \max_{1\leq i \leq m} \left\{ \lambda_i \cdot |f_i(x) - z_i^*| \right\}mingTCH(x∣λ,z∗)=1≤i≤mmax​{λi​⋅∣fi​(x)−zi∗​∣}

参数说明：

• $\lambda =({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m)$：权重向量，${\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i=1$
• $z^{\ast }=(z_1^{\ast },z_2^{\ast },\dots ,z_m^{\ast })$：参考点（通常取各目标的理想值）
• $|f_i(x)-z_i^{\ast }|$：目标$i$与参考点的偏差

二、关键特性

1. 帕累托最优性保持

若$x^{\ast }$是Tchebycheff变换后的最优解，则$x^{\ast }$必为原多目标问题的Pareto最优解。

2. 权重向量的几何意义
   权重${\lambda }_i$决定了目标$i$在"最大偏差"中的重要性：

   • ${\lambda }_i$越大，算法越关注减小目标$i$与参考点的偏差
   • 通过均匀分布的权重向量，可系统性覆盖整个Pareto前沿

3. 对非凸前沿的适应性
   与加权和方法不同，Tchebycheff变换可处理任意形状的Pareto前沿（凸/非凸）。

三、变种形式

1. 带偏移的Tchebycheff（更常用）：
   gTCH(x∣λ,z∗)=max⁡1≤i≤m{λi⋅(fi(x)−zi∗)}g^{TCH}(x|\lambda,z^*) = \max_{1\leq i \leq m} \left\{ \lambda_i \cdot (f_i(x) - z_i^*) \right\}gTCH(x∣λ,z∗)=1≤i≤mmax​{λi​⋅(fi​(x)−zi∗​)}
   假设所有目标均为最小化，移除绝对值符号。

2. 增强型Tchebycheff：
   gETCH(x∣λ,z∗)=max⁡1≤i≤m{λi⋅∣fi(x)−zi∗∣}+ϵ∑i=1mλi⋅∣fi(x)−zi∗∣g^{ETCH}(x|\lambda,z^*) = \max_{1\leq i \leq m} \left\{ \lambda_i \cdot |f_i(x) - z_i^*| \right\} + \epsilon \sum_{i=1}^m \lambda_i \cdot |f_i(x) - z_i^*|gETCH(x∣λ,z∗)=1≤i≤mmax​{λi​⋅∣fi​(x)−zi∗​∣}+ϵi=1∑m​λi​⋅∣fi​(x)−zi∗​∣
   引入正则化参数$ϵ>0$，防止多个解具有相同的最大偏差值。

四、关键参数设计

1. 参考点$z^{\ast }$的确定

   • 理想点法：$z_i^{\ast }={\min }_{x\in \Omega }{f}_i(x)$（通常未知，需动态更新）
   • 当前最优值：迭代中维护各目标的当前最优值作为$z^{\ast }$

2. 权重向量$\lambda$的生成

   • 均匀分布法：在单位单纯形上生成均匀分布的权重向量
     • 例如，对于2目标问题，$\lambda =(t,1-t)$，$t\in [0,1]$
   • 自适应权重：根据当前种群分布动态调整

单位单纯形简介

五、与MOEA/D结合的流程

1. 初始化：生成$N$个均匀分布的权重向量{λ1,λ2,…,λN}\{\lambda^1, \lambda^2, \dots, \lambda^N\}{λ1,λ2,…,λN}
2. 定义子问题：对每个权重向量${\lambda }^i$，求解：
   $$\min g^{TCH}(x|{\lambda }^i,z^{\ast })$$
3. 进化更新：通过交叉变异生成新解，用Tchebycheff值评估优劣
4. 邻域协同：仅与相邻权重向量对应的子问题交流信息

六、总结

Tchebycheff变换通过"最大加权偏差"机制，将多目标问题转化为单目标优化，其核心优势在于：

• 广泛适用性：适用于任意形状的Pareto前沿
• 解分布可控性：通过权重向量精确调控解的分布
• 计算高效性：仅需计算各目标偏差的最大值

在实际应用中，合理设计权重向量和参考点是成功的关键。