背包DP之分组背包

分组背包在基础背包的基础上增加了“分组”约束——物品被划分为若干组，每组中最多选择一个物品，这种模型广泛应用于“互斥选择”场景（如“从多个套餐中选一个”“从多类工具中选一种”）。

一、分组背包基础认知

1.1 问题定义

给定m组物品，每组物品包含若干个物品；每个物品有重量w[i][k]和价值v[i][k]（i为组号，k为组内物品序号）；背包容量为C。要求：

• 每组最多选择一个物品（可以不选）。
• 在总重量不超过C的前提下，最大化选择物品的总价值。

示例：

• 输入：m=2组物品，C=5
  • 第1组：[(w=2, v=3), (w=3, v=5)]
  • 第2组：[(w=1, v=2), (w=4, v=6)]
• 输出：8（选择第1组的(3,5)和第2组的(1,2)，总重量3+1=4≤5，总价值5+2=7？不，最优为第1组(2,3)和第2组(4,6)，总重量2+4=6>5；正确最优：第1组(3,5)和第2组(1,2)总价值7，或第2组(4,6)和第1组不选，总价值6 → 实际最优为7）

1.2 核心特征

• 分组约束：物品按组划分，组内物品互斥（选了A就不能选同组的B）。
• 可选性：每组可选择一个物品或不选（区别于“每组必须选一个”的变种）。
• 与0/1背包的关联：可视为0/1背包的扩展——0/1背包中每组只有一个物品，分组背包中每组有多个物品。

分组背包的本质是“在组内互斥约束下的物品选择优化”，其解法是0/1背包的自然延伸。

二、分组背包的状态设计与递推

2.1 状态定义

沿用背包问题的经典状态设计，聚焦“容量”和“组数”两个维度：

• 设dp[i][j]表示“考虑前i组物品，背包容量为j时的最大价值”。
• 目标是dp[m][C]（考虑所有m组，容量C时的最大价值）。

2.2 递推关系

对于第i组，有两种选择：不选该组任何物品或选该组的某一个物品。

1. 不选第i组：价值与前i-1组相同 →
   dp[i][j] = dp[i-1][j]

2. 选第i组的第k个物品（需满足j ≥ w[i][k]）：
   价值 = 前i-1组在容量j - w[i][k]时的价值 + 当前物品价值 →
   dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j - w[i][k]] + v[i][k])

综合两种情况，递推公式为：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], max{ dp[i-1][j - w[i][k]] + v[i][k] | 第i组的所有物品k且j ≥ w[i][k] })

2.3 遍历顺序

与0/1背包类似，为避免同一组物品被多次选择，需按以下顺序遍历：

1. 外层遍历组：从第1组到第m组（确保每组只处理一次）。
2. 中层遍历容量：从C逆序到0（避免同一组内的物品被重复选择）。
3. 内层遍历组内物品：对当前组的每个物品，更新容量j的最大价值。

三、代码实现

3.1 基础二维DP实现

public class GroupKnapsack {/*** 分组背包基础实现（二维DP）* @param m 组数* @param C 背包容量* @param groups 物品组（groups[i]是第i组的物品列表，每个物品为{w, v}）* @return 最大价值*/public int maxValue(int m, int C, List<List<int[]>> groups) {// 二维DP数组：dp[i][j] = 前i组，容量j时的最大价值int[][] dp = new int[m + 1][C + 1];// 遍历每组物品（i从1到m）for (int i = 1; i <= m; i++) {List<int[]> group = groups.get(i - 1); // 第i组（0基索引）// 遍历容量（逆序，避免同一组物品重复选择）for (int j = C; j >= 0; j--) {// 情况1：不选第i组，价值继承前i-1组dp[i][j] = dp[i - 1][j];// 情况2：选第i组的某个物品for (int[] item : group) {int w = item[0];int v = item[1];if (j >= w) { // 容量足够dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - w] + v);}}}}return dp[m][C];}public static void main(String[] args) {GroupKnapsack solver = new GroupKnapsack();int m = 2; // 2组int C = 5; // 容量5// 初始化物品组：第0组[(2,3), (3,5)]，第1组[(1,2), (4,6)]List<List<int[]>> groups = new ArrayList<>();groups.add(Arrays.asList(new int[]{2, 3}, new int[]{3, 5}));groups.add(Arrays.asList(new int[]{1, 2}, new int[]{4, 6}));System.out.println(solver.maxValue(m, C, groups)); // 输出7（3+5组选3,5；1+2组选1,2 → 5+2=7）}
}

3.2 空间优化：一维DP实现

观察二维DP可知，dp[i][j]仅依赖dp[i-1][j]（上一组的状态），因此可压缩为一维数组：

• 用dp[j]表示“当前处理到第i组，容量j时的最大价值”。
• 遍历组和容量的顺序不变，仅需用当前组的结果覆盖上一组的结果。

public int maxValueOptimized(int m, int C, List<List<int[]>> groups) {// 一维DP数组：dp[j] = 容量j时的最大价值（滚动更新）int[] dp = new int[C + 1];// 遍历每组物品for (int i = 0; i < m; i++) {List<int[]> group = groups.get(i);// 逆序遍历容量（关键：避免同一组物品被多次选择）for (int j = C; j >= 0; j--) {// 遍历组内物品（更新当前容量的最大价值）for (int[] item : group) {int w = item[0];int v = item[1];if (j >= w) {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - w] + v);}}}}return dp[C];
}

优化说明：

• 空间复杂度从O(m×C)降至O(C)，尤其适合组数m较大的场景。
• 逆序遍历容量是核心：确保处理第i组时，dp[j - w]仍是“前i-1组”的状态，避免同一组内的物品被重复选择（若正序遍历，可能多次选择同一组的多个物品）。

四、分组背包的变种与应用

4.1 变种问题

1. 每组至少选择一个物品：

   • 初始化dp[0...C]为-∞（表示不可行），仅dp[0] = 0。
   • 递推时确保每组至少选择一个物品（避免“不选”的情况）。

2. 组内物品可选择多个（但不超过组内数量）：

   • 结合多重背包的“二进制优化”，将组内物品拆分为“可选k个”的组合。

3. 有依赖的分组背包：

   • 组内物品存在依赖（如选择A才能选择B），需先处理依赖关系，再按分组背包逻辑求解。

4.2 应用场景

• 套餐选择：从多个套餐（每组）中选一个，如“外卖套餐”“旅游套餐”。
• 工具选型：从多类工具（每组）中选一种，如“编程语言（Python/Java）”“数据库（MySQL/PostgreSQL）”。
• 资源分配：有限预算下从多类项目（每组）中选一个投资，最大化收益。

五、时间复杂度与优化

5.1 时间复杂度

设组数为m，每组物品数为k（平均），背包容量为C：

• 基础实现与优化实现的时间复杂度相同：O(m×k×C)。
• 当m=100，k=10，C=1000时，总操作次数为100×10×1000=10^6，效率可接受。

5.2 优化技巧

1. 组内物品剪枝：若组内存在物品A（w1, v1）和物品B（w2, v2），且w1 ≤ w2且v1 ≥ v2，则B为无效物品（选A更优），可删除B减少遍历次数。
2. 容量上限优化：对每组物品，计算组内最小总重量，容量小于该值时可跳过处理。
3. 并行计算：对独立的组（无依赖），可并行处理（实际应用中较少使用，因Java多线程开销可能抵消收益）。

总结
分组背包是处理“互斥选择”问题的高效模型，其核心是“按组遍历+逆序容量+组内物品选择”：

1. 状态定义延续背包问题的经典设计，聚焦“组数”和“容量”。
2. 逆序遍历容量是避免组内物品重复选择的关键。
3. 最终结果需取所有容量的最大值（而非仅dp[C]）。

That’s all, thanks for reading~~
觉得有用就点个赞、收进收藏夹吧！关注我，获取更多干货～