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P1040 [NOIP 2003 提高组] 加分二叉树

news 2025/7/25 22:17:12

题目描述

设一个 n 个节点的二叉树 tree 的中序遍历为(1,2,3,…,n)，其中数字 1,2,3,…,n 为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第 i 个节点的分数为 di，tree 及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树 subtree（也包含 tree 本身）的加分计算方法如下：

subtree 的左子树的加分 × subtree 的右子树的加分 + subtree 的根的分数。

若某个子树为空，规定其加分为 1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为 (1,2,3,…,n) 且加分最高的二叉树 tree。要求输出

tree 的最高加分。
tree 的前序遍历。

输入格式

第 1 行 1 个整数 n，为节点个数。

第 2 行 n 个用空格隔开的整数，为每个节点的分数

输出格式

第 1 行 1 个整数，为最高加分（Ans≤4,000,000,000）。

第 2 行 n 个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

输入输出样例

输入 #1

5
5 7 1 2 10

输出 #1

145
3 1 2 4 5

说明/提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 1≤n<30，节点的分数是小于 100 的正整数，答案不超过 4×109。

解析

一、问题分析

给定二叉树中序遍历得分规则：子树得分=左子树得分×右子树得分+根节点得分。要求：

计算最高加分
输出前序遍历序列

二、算法设计

1. 区间DP定义

dp[i][j]：中序遍历i~j子树的最高加分
root[i][j]：记录最优解的根节点位置

2. 状态转移方程


for(int len=1; len<=n; len++) {for(int i=1; i+len-1<=n; i++) {int j = i+len-1;for(int k=i; k<=j; k++) {int left = (k==i) ? 1 : dp[i][k-1];int right = (k==j) ? 1 : dp[k+1][j];int newScore = left * right + score[k];if(newScore > dp[i][j]) {dp[i][j] = newScore;root[i][j] = k;}}}
}

三、完整代码实现


#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;int n;
vector<int> score;
vector<vector<int>> dp, root;void printPreorder(int l, int r) {if(l > r) return;cout << root[l][r] << " ";printPreorder(l, root[l][r]-1);printPreorder(root[l][r]+1, r);
}int main() {cin >> n;score.resize(n+1);dp.assign(n+2, vector<int>(n+2, 0));root.assign(n+2, vector<int>(n+2, 0));for(int i=1; i<=n; i++) {cin >> score[i];dp[i][i] = score[i];root[i][i] = i;}for(int len=2; len<=n; len++) {for(int i=1; i+len-1<=n; i++) {int j = i+len-1;for(int k=i; k<=j; k++) {int left = (k==i) ? 1 : dp[i][k-1];int right = (k==j) ? 1 : dp[k+1][j];int newScore = left * right + score[k];if(newScore > dp[i][j]) {dp[i][j] = newScore;root[i][j] = k;}}}}cout << dp[1][n] << endl;printPreorder(1, n);return 0;
}

该代码实现了区间DP求解和树结构重建，时间复杂度O(n³)