陷波滤波器设计全解析：原理、传递函数与MATLAB实现

陷波器，如同频谱上的精密手术刀，精准剔除特定频率干扰，是信号处理工程师对抗噪声的利器。

1. 陷波器：精准的频率“剔除术”

陷波滤波器（Notch Filter）是一种带阻滤波器，其核心目标是在信号频谱中深度衰减一个极其狭窄的频率范围（中心频率 f0 附近），而对其他频率成分的影响最小化。这种特性使其成为消除固定频率干扰（如工频50Hz/60Hz干扰、电源谐波、特定机械振动噪声）的理想工具。

2. 核心原理：零极点的共舞

陷波器的工作原理建立在零极点配置的基础之上：

• 零点 (Zero)： 位于复频域单位圆上、角度为 ±θ0 的位置（θ0 = 2πf0/fs，fs 为采样率）。零点直接位于需要被抑制的频率点 f0 对应的复平面单位圆上，导致该频率处的传输增益理论上为0（深度衰减）。

• 极点 (Pole)： 位于靠近对应零点、但在单位圆内的位置（半径为 r，0 < r < 1）。极点靠近零点是为了确保在 f0 处具有尖锐的衰减特性；极点位于单位圆内则保证滤波器的稳定性。极点半径 r 控制着陷波器的带宽（或品质因数 Q）。r 越接近1，极点离单位圆越近，陷波器的带宽越窄（Q值越高），频率选择性越强，但时域响应建立时间也越长；r 越小，带宽越宽（Q值越低）。

零极点协同作用：零点在 f0 处强制“抵消”信号，造成深度衰减。靠近零点的极点则“锐化”了这种抵消效应，使得衰减只集中在 f0 附近一个很窄的频带内，而对远离 f0 的频率影响很小。

3. 复频域传递函数方程

一个标准的二阶数字陷波滤波器的传递函数 H(z) 可表示为：

H(z) = b0 * (1 - 2cos(θ0)z⁻¹ + z⁻²) / (1 - 2r cos(θ0)z⁻¹ + r²z⁻²)

其中：

• z： 复频域变量。

• θ0 = 2πf0 / fs： 目标陷波频率 f0 (Hz) 对应的归一化数字角频率 (弧度)。