数学建模--层次分析法

层次分析法（AHP）笔记

一、核心概念

（一）问题本质

面对多方案、多准则决策，将复杂问题分层拆解，通过定性与定量结合，确定各因素权重，选出最优方案，比如选“微博之星”时综合粉丝数、颜值等指标决策。

（二）关键步骤

建立层次结构→构造判断矩阵→一致性检验→计算权重→方案评分

二、操作流程

（一）建立层次结构模型

把决策问题拆成三层：

• 目标层：决策终极目的（如选微博之星）。
• 准则层：评价方案的指标（如粉丝数、颜值、作品质量、作品数量 ）。
• 方案层：具体候选对象（如明星A、B、C ）。

以选微博之星为例，结构如下：

    目标层：微博之星  ↗─────────────↖  
准则层：粉丝数  颜值  作品质量  作品数量  ↗ ↗ ↗ ↗ ↗ ↗ ↗ ↗  
方案层：  A      B        C  

（二）构造判断矩阵

1. 标度规则（1 - 9 标度法）：

   标度	含义	示例（粉丝数 vs 作品数量）
   1	两因素同等重要	粉丝数和粉丝数比，标度为 1
   3	一因素比另一因素稍微重要	粉丝数比颜值稍重要，标度可设 3
   5	一因素比另一因素明显重要	粉丝数比作品数量明显重要，标度 5
   7	一因素比另一因素强烈重要	——
   9	一因素比另一因素极端重要	——
   2、4、6、8	相邻标度的中间值	粉丝数比颜值“稍微 + 明显”之间，标度 2 或 4 等
   倒数	因素 i 对 j 重要性为 aij，则 j 对 i 为 1/aij	粉丝数对作品数量标度 5，作品数量对粉丝数则为 1/5

2. 构建矩阵示例（准则层4个指标：粉丝数、颜值、作品质量、作品数量 ）：

   	粉丝数	颜值	作品质量	作品数量
   粉丝数	1	2	3	5
   颜值	1/2	1	1/2	2
   作品质量	1/3	2	1	1/2
   作品数量	1/5	1/2	2	1

   矩阵中a<sub>ij</sub>表示第i个指标相对第j个指标的重要程度，需两两比较所有指标填值。

（三）一致性检验（解决判断矛盾）

因两两比较可能逻辑冲突（如颜值＜作品质量、颜值＞作品数量，但作品质量＜作品数量 ），需检验判断矩阵是否“一致”。

1. 原理：
   一致矩阵满足：a<sub>ij</sub> = a<sub>ik</sub> * a<sub>kj</sub>（如粉丝数对颜值标度2，颜值对作品质量标度1/2，则粉丝数对作品质量标度应为 2*(1/2)=1，若实际填3则矛盾 ）。
   一致矩阵的最大特征值λ<sub>max</sub> = 矩阵阶数n；非一致矩阵λ<sub>max</sub> > n，且越不一致，差值越大。

2. 检验：

   • 1：计算一致性指标 CI
     CI = (λ<sub>max</sub> - n) / (n - 1)
     （n是判断矩阵阶数，如准则层4个指标则n=4；λ<sub>max</sub>需通过特征值计算，可用软件/工具辅助 ）

   • 2：查平均随机一致性指标 RI
     根据n查表（常见值）：

     n	1	2	3	4	5	6	…
     RI	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	…

   • 3：计算一致性比率 CR
     CR = CI / RI

     • 若CR < 0.1：判断矩阵一致，可继续；
     • 若CR ≥ 0.1：矩阵逻辑矛盾，需调整标度重新构建。

（四）计算权重（确定指标重要性）

常用算术平均法，步骤：

1. 列归一化：每个元素除以其所在列的和。
   如判断矩阵第一列[1, 1/2, 1/3, 1/5]，列和=1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 ≈ 2.033，则归一化后第一列：
   1/2.033 ≈ 0.492，(1/2)/2.033 ≈ 0.246，(1/3)/2.033 ≈ 0.164，(1/5)/2.033 ≈ 0.098。

2. 按行求和：归一化后每行元素相加。
   第一行归一化后[0.492, 0.364, 0.600, 0.500]，和为0.492+0.364+0.600+0.500=1.956。

3. 求平均权重：行和除以n（矩阵阶数）。
   第一行权重=1.956 / 4 ≈ 0.489（即粉丝数权重≈48.9% ）。

   最终准则层权重（示例）：

   指标	权重
   粉丝数	0.489
   颜值	0.182
   作品质量	0.232
   作品数量	0.097

（五）方案评分（综合权重选最优）

1. 指标归一化：
   不同指标量纲不同（如粉丝数是“w”，颜值是“分” ），需先归一化到[0,1]区间。
   方法：单个指标值 / 该指标所有方案值的和。
   示例（粉丝数）：
   A粉丝数6000w，B3400w，C5500w，总和=6000+3400+5500=14900，则：
   A粉丝数归一化值=6000/14900≈0.403，B≈0.228，C≈0.369 。

2. 加权计算评分：
   每个方案的评分 = Σ（指标归一化值 × 对应指标权重）。
   示例（明星A评分）：
   0.403×0.489 + （A颜值归一化值）×0.182 + …，同理算B、C评分，分高者当选。

三、应用场景与优缺点

（一）适用场景

• 多准则决策（如项目选址、供应商评选 ）。
• 指标重要性难直接量化，需主观判断结合的场景。

（二）优点

• 结构化分解复杂问题，逻辑清晰。
• 结合定性（专家判断）与定量（数学计算），平衡主观与客观。

（三）缺点

• 依赖专家经验，主观因素影响大。
• 指标多（n>10）时，判断矩阵一致性难满足，需简化指标或分层。

四、总结

层次分析法通过“分层→判断→检验→加权”，把模糊的多准则决策转化为可计算的权重与评分，核心是判断矩阵的合理构建和一致性检验，实际用需注意指标精简、专家参与，避免主观偏差，适合需要平衡多因素的决策场景 。