lowbit小解

lowbit小解

提问：求一个正整数的二进制最小非零位
遍历肯定能解，但不是最方便的方法，因此计算机算法学者发明了lowbit函数以达成目标

lowbit是一个在计算机科学和算法中常用的函数，尤其在​​树状数组（Fenwick Tree）等数据结构中扮演重要角色。它的作用是​​快速求出一个整数的二进制表示中最低位的 1 及其后面的 0 所构成的数值​​。
​​1. lowbit 的定义​​
对于一个整数 x，lowbit(x)返回 x的二进制表示中​​最低位的 1 及其后面的 0 所组成的数值​​。
​​数学表达式​​：

lowbit(x)=x&(−x)

其中 &是按位与运算符，-x是 x的二进制补码表示。
​​2. 原理分析​​
​​(1) 补码表示​​
在计算机中，负数是用​​补码​​表示的。对于一个整数 x，其补码 -x可以表示为：

−x=∼x+1

其中 ~x是 x的按位取反。

​​(2) 按位与运算​​
计算 x & (-x)时：
~x会将 x的所有二进制位取反。
~x + 1会导致最低位的 1 变成 0，并产生一个进位，使得更高位的 0 变成 1。
最终 x & (-x)会保留 x的最低位的 1，而其他位全部置 0。
​​示例​​：
设 x = 12，其二进制表示为 1100。
-x的补码计算：
~x = 0011（按位取反）
~x + 1 = 0100（补码）
x & (-x) = 1100 & 0100 = 0100（即 4）。
所以 lowbit(12) = 4。

代码也非常简单

int lowbit(int x) {return x & (-x);
}