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卷积运算的历史

news 来源：原创 2025/6/24 12:05:21

卷积(折积)运算的历史

(A History of the Convolution Operation)

---------------------------------------------作者：Alejandro Dominguez

1. 引言

2. 连续卷积(折积)运算的诞生(Continuous Convolution Operation)

3. 连续卷积(折积)运算的历史发展(Historical Development of the COO)

4. 连续卷积(折积)运算的命名(Names of the COO)

5. 星号(*)的诞生：连续折积之符号(A Star is Born: Notations for the CCO)

6. 连续折积的主要定理和计算(Main Theorems and Computation of the CCO)

7. 关于连续折积的书籍(Books About the CCO)

8. 后记：卷积的隐藏故事(Final Words: The Hidden Story of Convolution)

9. 参考文献(Final Words: The Hidden Story of Convolution)

1. 引言

数学和音乐两个领域相互关联：都展现了令人震撼的和谐与不和谐之美。卷积有一个令人愉悦的描述——一位来访的客人函数转过身来迎接主人函数。

作者Alejandro Domínguez于1960年4月18日出生于墨西哥墨西哥城。他于1984年获得墨西哥国立自治大学物理学学士学位，1989年获得该大学物理学硕士学位，并于1992年获得英国Bedford Cranfield大学应用计算与数学博士学位。1992年至2000年，他在墨西哥城Arturo Rosenblueth基金会工作。2000年至2001年，他受邀担任西班牙穆尔西亚卡塔赫纳(Murcia Politécnica de Cartagena)理工大学的教授。 2001年至2003年，他再次任职于阿图罗·罗森布鲁斯基金会(Fundación Arturo Rosenblueth)。自2003年起，他任职于墨西哥城墨西哥理工大学(Universidad Tecnológica de México)，目前担任该校研究生院院长。他的数学研究主要关注Fourier积分变换和卷积运算的历史，以及如何运用这两种运算解决经典物理和计算机辅助设计相关的问题。他曾因其学术成就荣获克兰菲尔德大学(1992年)、墨西哥理工大学(2010年)和墨西哥国立高等教育评估中心(2014年)的奖项。毫无疑问，他是谈论这个话题的最佳人选。

对于应用数学家、物理学家和工程师来说，连续卷积运算 (CCO——continuous convolution operation) 的实用性和应用前景毋庸置疑。其应用范围如此之广，以至于列举和统计它们将耗费大量时间。尽管如此，几乎所有讨论 CCO 理论和应用的现代书籍都未提及其起源。缺乏背景信息的主要原因是，讨论 CCO 的书籍通常以积分变换(主要是Fourier变换或Laplace变换)的理论和应用为主要主题。早期文献中也存在这种情况，但少数文献除外，例如三本书籍 [1]–[3] 和两份电子文档 [4] 和 [5]。

在贯穿全书的一系列评论以及书末的讨论中，[1] 提供了一些历史记录。虽然许多评论仅限于引用其他来源，但 [2] 提供了简短的历史记录，这些注释出现在附录 C 的两个小节中(第 364-365 页)。在 [3] 中，“Mesure de Harr；卷积”一章的后半部分专门用于历史记录注释；然而，其中许多注释的引用并未指明具体来源。

关于电子资料，Miller [5] 的贡献提供了一些关于 CCO 历史的注释，其中一些注释并不准确。论文 [4] 是首次尝试描述这段历史，也是本文的主要资料来源。然而，由于本文部分研究基于其他作者提供的相应信息，因此其中仍存在一些不准确之处。借助互联网和专业网页，可以查阅并详尽核实这些资料。因此，23年后，我们才有可能对这段历史进行更精确的描述。

与原文[4]一样，在继续阅读本文之前，必须先声明两点。首先，本文所描述的CCO历史远非完整；事实上，读者可能会发现其中没有对某些作者作品的评论。其次，本文无意评估或批评这些事件或事实；所提供的信息更具描述性，而非批判性。

2. 连续卷积(折积)运算的诞生(Continuous Convolution Operation)

在18世纪60年代，瑞士数学天才Leonhard Euler(1707-1783)完全失明，但疾病并没有阻止他对数学做出贡献。事实上，在那几年里，他写了一本令人难忘的书，探讨了积分学以及用某些定积分求解微分方程(DE)的方法[6]。在本书第十章，具体来说是第131题(第1049节，第248页)，他研究了如下形式的二阶偏微分方程的解

(1) $\displaystyle y=\int{\left [K(u)+Q(x) \right ]^{n}}P(x)dx$ 。

该解的第一个简单情况是 K(u) = u 且 Q(x) = x，第二个情况是 K(u) = -u 且 Q(x) = x。Euler在 [7] 中研究了第一个情况，这是第一个在统计应用中详尽使用相关性运算(correlation)并与卷积相关的文献。关于第二个情况，(1) 得出一种特定形式的数学运算结果，说明了本文提出的原因

(2) $\displaystyle y=\int{(x-u)^{n}}P(x)dx$ 。

然而，Euler似乎并没有专门研究 (2) 式，但他研究了 Q(x) = x 且 K(u) 为其他函数的情况 [6, 第 251 页]。(2) 式的一个更一般形式“自然地”出现在通过积分变换(如 Fourier变换或Laplace变换)求解微分方程中，这些积分变换与计算流体力学、电子工程、热传导、信号和图像处理、线性声学、机械工程、光学、概率论与统计学、放射治疗、光谱学和粘弹性相关。具体而言，对于给定的两个复值合适函数 f 和 g，以下表达式比 (2) 式更一般：

(3) $\displaystyle y=\int_{I}{f(\alpha)g(x-\alpha)}d\alpha$ ，

其中，I 可以是一个区间 [a ,b](若 α 是实数) 或一条曲线(若 α 是复数)。对于第一情况，又分三种最普遍的情况，其中之一如下(其中，-∞ < a < b < ∞ )：

从图解的角度来看，以α为主要变量，该运算包含一个可以用图解方式解释的数学过程：沿对称轴“折叠(folding)”函数g的自变量(译注：类似于沿某中心线折叠一张纸，纸的一侧与另一侧重合，即这一侧翻转 108°与另一侧重合，因此从这个意义上来说，把“convolution”翻译成“折叠积”或“折积(褶积，摺积，叠积)”更为妥当，因为“卷”在汉语中指的是“把物弯转成圆筒状”，不如前述翻译形象)，再平移函数g的自变量，将折腾平移后的函数g乘以函数f，然后对乘积进行积分[2，第232页]。此外，这种解释及其图解可能首次出现在同一本书的1942年第一版中。

因此，该运算在某种意义上是将一个输入函数与另一个输入函数的“旋转(revolving)”相乘。特别是在数学、物理及相关领域，通常用来表示这种旋转的动词是“折积(to convolve)”。该动词源自拉丁语“convolvere ”，由 “con-(with, together)” 和 “volvere(to roll)”构成；因此，convolve 的意思是“卷(叠)在一起”。因此，折叠后的这种操作就称为卷积(折积)(convolution)。这就就是为什么公式 (3) 现在通常被称为 CCO，或简称为卷积的原因，尽管它在过去有许多其他名称，但本章诗论的“CCO 的名称”如上所述。(译注：本文在下述部分采用译名“折积”。)

3. 连续卷积(折积)运算的历史发展(Historical Development of the COO)

追溯CCO的历史并非易事，因为它需要查阅和核实大量书籍和论文中的信息。在某些情况下，所提供的信息并不准确，而在其他情况下，它仅包含一些注释而没有参考文献。无论如何，追溯这些事件，无论是真实的还是假定的，都是本节的主要目标。幸运的是，至少有一个起点：Euler的著作[6，第230-255页]。一个假定事件的例子与法国数学家Pierre-Simon Laplace (1749-1827)有关。事实上，Miller [5]在“折积(Convolution)”条目中做出了如下表述：

“Expressions that would now be described as “convolutions” appear in Laplace’s earliest work on sums of independent random variables, “Mémoire sur l’inclinaison moyenne des orbites des comètes, sur la figure de la terre et sur les fonctions,” Mémoires de l’Académie Royale des Sciences de Paris, Savants Étrangers, vol. 7, pp. 503–540, 1773.”(现在被描述为“折积”的表达式出现在Laplace关于独立随机变量之和的最早著作中，“关于彗星轨道平均倾角、地球形状和功能的回忆录”，巴黎皇家科学院回忆录，外国学者，第 7 卷，第 503-540 页，1773 年。”)

然而，在回顾这本回忆录之后，却找不到任何关于CCO的痕迹。Miller还指出：

“A succession of French and Russian mathematicians followed Laplace and used convolutions without, it seems, evolving a name for them. See A. Hald History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930 (1998).”(继Laplace之后，法国和俄罗斯数学家陆续使用了折积运算，但似乎并未为其命名。参见 A. Hald 的《1750 年至 1930 年的数理统计史》(1998 年)。)

然而，Hald的书中指出，Laplace确实使用了 CCO 来解决寻找均值分布的问题，这出现在 1778 年撰写的回忆录第 478 页，该回忆录于 1781 年发表在《巴黎皇家科学院论文集》上。因此，Miller对Laplace工作的引用似乎不准确。

Laplace的这本回忆录启发了许多应用数学家和工程师，他们发展了许多其他理论和成果。例如，法国数学家Sylvestre François Lacroix(1765-1843)于1800年出版的一本关于差分(differences)和级数的著作。书中，CCO出现在一个关于定积分级数求和的应用中。值得一提的是，这或许是CCO第一次以其更一般的形式出现，如公式(3)所示。顺便提一句，德国数学家Heinrich Friedrich Karl Ludwig Burkhardt(1861-1914)在[8，第400页]的脚注中引用了Lacroix的这项工作。

19世纪初，一位对数学应用于物理现象感兴趣的年轻数学家开始撰写一本名为《固体热运动理论》(Théorie de Mouvement de la Chaleur Dans les Corps Solides)的回忆录，这本书后来成为他于1821-1822年首次出版的著名著作《热的解析理论》(Théorie Analytique de la Chaleur)的一部分。这位数学家就是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830)[9]。在这本书中，CCO出现在第265节[9，第233-234页]：

(4) $\displaystyle F(x) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}F(\alpha)\left \{ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{\infty}\cos(i(x-\alpha)\right \}d\alpha$ 。

Fourier的著作是第一本多次出现CCO的著作(例如，参见第九章)。与Fourier同时代的两个数学家是法国数学家Augustin Louis Cauchy(1789-1857)和Siméon Denis Poisson(1781-1840)。Cauchy在一篇关于波的传播理论的长篇论文中使用了许多CCO表达式。这篇论文提交给了法国科学院，并参加了1815年的数学分析奖竞赛。对于Poisson，CCO首次出现在他1816年出版的关于波的理论的论文中。

Poisson在他随后的论文中运用了CCO。例如，在1826年的一篇关于运动中磁力的论文中，CCO出现了多次。关于这篇论文及其CCO的使用，Gardner和Barnes写道[2，第364页]：“这篇论文的处理方式使得我们假设这些概念是已知的。”

事实上，在19世纪20年代，CCO的概念在应用数学领域相当普遍。例如，在由物理中的某些特定问题推导出的某些积分方程的解中，出现了式(2)所示的表达式。等时曲线(tautochrone curves)问题中出现的积分方程就是一个例子，该方程由挪威数学家Niels Henrik Abel(1802-1829)求解，并于1823年和1826年发表在两篇论文中。

19世纪20年代末及以后，CCO的使用在纯数学和应用数学相关论文中变得更加普遍。表1按时间顺序列出了[1]–[5]中引用的这些用法的参考文献。

年份	CCO的使用
1829	德国数学家Peter Gustav Lejeune Dirichlet(1805–1859)使用 CCO 研究Fourier级数的收敛性。
1831, 1834, 和1841	Cauchy在1831年提交给都灵科学院的一篇长文中使用了CCO，并在1834年和1841年的论文中对CCO进行了多次改写。当然，Cauchy的CCO公式就是复变函数论中所谓的Cauchy积分公式。
1834	法国数学家Jean-Marie Constant Duhamel(1797–1872)使用CCO解释了任意点系振动的理论。Gardner和Barnes [2,第364页]引用了Duhamel在1833年的另一本回忆录中也使用了CCO；然而，读完之后，并没有发现存在这种CCO的证据。
1843和1863	法国数学家Pierre Alphonse Laurent在其著名的级数展开式推导中给出了Cauchy积分公式(与Cauchy积分相关)的下一个重要应用，该级数展开式的系数属于Cauchy积分类型。他的研究结果发表于1843年的一篇未发表的论文中。完整的论文发表于20年后，也就是Laurent去世九年后。
1848	德国数学家Oscar Xaver Schlömilch(1823-1901) 在其关于数学分析和Fourier级数与积分的书中，使用 CCO 定义分数阶导数并评估与 Gamma 函数相关的某种类型的定积分。
1848	德国物理学家Franz Ernst Neumann (1798–1895) 利用 CCO，通过第一类Legendre多项式表示出第二类伴随Legendre多项式。
1854	Hanover出生的数学家Georg Friedrich Bernhard Riemann(1826-1866)使用CCO来研究Fourier级数的收敛性。有趣的是，Riemann使用的CCO与Dirichlet在1829年关于该理论的著作中提出的CCO类似。
1867和1887	俄罗斯数学家Pafnuty Lvovich Tchébychef(1821–1894) 曾使用过CCO。Gardner和Barnes 指出，“Tchébychef 在 1867 年的一篇论文中隐式地使用了CCO […]，并在 1887 年的一篇论文中明确地使用了CCO […]”[2, 第364页]。然而，在对相应论文进行修订后，没有任何证据表明他曾隐式或显式地使用过 CCO。因此，切比谢夫对 CCO 的两种假定使用仍然是个谜。有趣的是，姓氏 Tchébychef 在文献中以不同的拼写出现，例如：Tchebychef、Chebychev、Tschebyscheff、Tchebysheff 和 Tchebichef。
1874	奥地利物理学家Ludwig Boltzmann(1844-1906)多次使用 CCO 解决弹性和静电问题。
1877	英国物理学家John Hopkinson(1849-1898)援引Boltzmann方法，利用 CCO 解决了不同玻璃的介电性质问题。
1884	俄罗斯数学家Nikolay Yakovlevich Sonin (1849-1915) 使用 CCO 推广了Abel积分方程。
1884	法国数学家Matthieu Paul Hermann Laurent (1841–1908) [不要与Pierre Alphonse Laurent (1813–1854) 混淆] 利用 CCO 定义了分数阶导数。
1885	Westphalian出生的数学家Karl Theodor Wilhelm Weierstrass(1815-1897) 使用 CCO 来近似连续函数。
1892	意大利工程师、社会学家、经济学家、政治学家和哲学家维尔Vilfredo Federico Damaso Pareto (1848-1923) 使用 CCO 生成了Abel定义的某类函数。
1892	意大利数学家Vito Volterra(1860-1940)开始将CCO和相关性应用于Lamé方程的变换。在此之后，CCO在他的大多数论文中变得普遍。它们构成了他发展积分方程理论的基础。
1896	芬兰数学家Robert Hjalmar Mellin(1854-1933）使用CCO求解微分方程。继Euler之后，他的著作或许是使用CCO求解微分方程最完整的著作。
1899	瑞士数学家Charles Cailler(1865–1922) 使用 CCO 求解某个具有线性系数的 DE(微分方程)，他称之为“Laplace方程”。
1899	法国数学家Félix Edouard Justin Émile Borel(1871-1956）利用CCO证明了两个绝对可和级数的乘积也绝对可和。他的研究结果与所谓的折积定理密切相关，该定理的历史在“折积CCO的主要定理和计算”一节中进行了描述。
1905	英国数学家Ebenezer Cunningham(1881–1977) 使用 CCO 扩展了 Borel 关于级数可和性的成果，并将其应用于寻找微分方程的解。
1905	英国数学家Harry Bateman(1882–1946）证明，两个不同阶的Bessel函数的CCO与阶数等于前两个阶数之和的Bessel函数成正比。
1905	荷兰天文学家Jacobus Cornelius Kapteyn(1851-1922)利用CCO推导出了Bessel函数的许多积分性质。
1908	英国数学家Thomas John l'Anson Bromwich(1875-1929) 利用 CCO 重新表述了 Borel 关于级数可和性的成果。
1907	尽管CCO出现和应用广泛，但此前尚无一位作者对其进行过完整的研究。最早的CCO研究或许是由奥地利数学家Salvatore Pincherle (1853-1936) 在解复积分方程 $\displaystyle \frac{1}{2{\pi}i} \int_{(\|z\|=P)}{K(s - z)dz} = g(z)$ 时提出的，其中 P > 0，k(z) 和 g(z) 为给定函数，f(z) 为未知函数。Pincherle 成功利用Laplace变换求解了该 CCO 问题。他和其他作者的研究成果总结于 [1，第 17 章]。这些结果构成了 [10] 中提出的反折积(deconvolution)方法的基础。
1920	智利出生的英国数学家Percy John Daniell(1889–1946) 将Stieltjes-Volterra积定义为以下类型的 CCO ： $\alpha{.}\beta(s) = \int_{-0}^{s+0}\beta(s-t)d{\alpha}(t)$ 和 $\alpha{.}\beta(s) = \int_{-\infty}^{+\infty}\beta(s-t)d{\alpha}(t)$ 。

1920 年后，CCO 作为乘法算子被纳入德国数学家 Hermann Klaus Hugo Weyl (1885–1955) 发展的群论中。以 Nicolas Bourbaki 为笔名的(主要为)法国数学家团体(正式名称为 Nicolas Bourbaki 合作者协会)注意到了该理论在 CCO 未来应用中的重要性 [3, 第295页]，这主要体现在乌克兰数学家 Israil Moiseevic Gelfand (1913–2009) 发展范数代数理论，以及法国数学家 Laurent Moise Schwartz (1915–2002) 在 1950–1951 年间建立的分布理论基础中。

Bourbaki在书中还指出，匈牙利数学家Alfréd Haar (1885–1933) 发展的测度论和 CCO 理论已经成为探索某些数学分析过程 (如微分和积分) 代数化方法的重要工具 [3,第 295页]。

这种代数化的思想在当时并不新鲜。事实上，它早在德国哲学家兼数学家Gottfried Wilhelm von Leibniz(1646-1716)时代就已存在于应用数学领域。他的思想后来被许多其他应用数学家、物理学家和工程师探索和发展。例如，1950年，出生于奥匈帝国的数学家Jan Geniusz Mikusin’ski(1913-1987)发表了一篇论文，三年后又出版了一本书，在书中他开发了一种将CCO代数化的方法。

关于追溯CCO的发展，还有很多值得探讨的地方。事实上，如果仔细研究与CCO相关的文献，可以得出以下结论：

(1) CCO 在解决物理或数学相关问题时自然而然地出现了。

(2) 直到 19 世纪 90 年代，CCO 才得到特殊处理。

(3) 自诞生以来，CCO 就与积分变换密切相关，无论是有限的(如Fourier级数的系数)，还是无限的(如Fourier或Laplace变换)。为了更清楚地理解这一表述，读者可以查阅任何一本关于积分变换的书籍，例如Fourier和Laplace的著作。

4. 连续卷积(折积)运算的命名(Names of the COO)

命名是识别事物最重要的方式。然而，有时直到人们足够感兴趣时才会命名。CCO 就是这种情况。对于 (2) 式给出的积分，其中 n 为负，第一个被赋予的名称是“Euler变换”。当然，Euler并没有用自己的姓氏来命名这些积分；那么，是谁创造了这个名字呢？这个问题的答案可以在 1897 年匈牙利数学家兼物理学家Ludwig Schlesinger(1864-1933) 撰写的一本关于 DES 的手册第 415 页找到，他模仿Laplace变换创造了这个名字。

由于“Euler变换”仅指特定类型的积分，因此它不适用于泛指 CCO。与此同时，1899 年，德国数学家Charles Cailler(1865-1922 年)在一篇关于Laplace微分方程和Abel公式的注释中，将 CCO 运算的结果命名为“合式(résultante)(resultant)”。该运算的名称几年后才出现，这要归功于意大利数学家Samuel Giuseppe Vito Volterra(1860-1940 年）。事实上，在 1910 年一篇关于积分和积分微分方程的一般问题的论文中，他写道，给定两个有限连续函数 $F_{1}(x,y)$ 和 $F_{2}(x,y)$ ，它们的“复合(composition)”（composizione）定义为

(5) $\displaystyle \int_{x}^{y}F_{1} (x,\xi)F_{2} (\xi,y)d\xi$ 。

他进一步指出，和(and)是“分量(components)”（componenti），而积分是“合式”(risultante)。当然，“复合”运算对应于一种更普遍的运算类型，其中由(5)式给出的CCO仅是 $F_{1}(x,y) = F_{1}(y - x)$ 和 $F_{2}(x,y) = F_{2}(y - x)$ 的一个实例。因此，CCO本身(而非其结果)的第一个通用名称是“复合”，后来被 Volterra 重新命名为“第一类复合(composition of the first type)”(composition de première espèce)。在同一篇论文中，他将两个连续有限函数 $F_{1}(x,y)$ 和 $F_{2}(x,y)$ 的“第二类复合”定义为

(6) $\displaystyle \int_{0}^{1}F_{1} (x,\xi)F_{2} (\xi,y)d\xi$ 。

后来，在他 1912 年于普林斯顿大学发表并于 1915 年发表的关于可置换函数(permutable functions)的讲座中，“第二类复合”被推广并定义为

(7) $\displaystyle \int_{a}^{b}F_{1} (x,\xi)F_{2} (\xi,y)d\xi$ 。

当然，这个表达式比(6)更一般。

在法国文献中，对“组合(composition)”一词也进行了略微修改：product de Composition(组合积)。这出现在Laurent Schwartz于1947-1948年撰写的一篇关于分布理论和Fourier变换的论文中。

在德国文献中，首选名称是 “faltung”(译注：德语，词义为“折叠式的”)，这可以在 [1, 第157页] 中得到验证。德国数学家Gustav Doetsch(1892–1977) 于 1923 年在其关于 faltung 型积分微分方程的论文中将此名称赋予了 CCO。在这篇论文发表后的一段时间内，许多美国作家倾向于使用 faltung这个名称。美国数学家Norbert Wiener(1894–1964) 在其著作《Fourier积分及其某些应用》(The Fourier Integral and Certain of Its Applications)中的以下引文证实了这一点：

“The quantity $1/{(2{\pi}})\int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(y-x)dx$ is known as the faltung of f (x) and g(x)(there is not British word)…”

在另一方面，正如2009年版《牛津英语词典》“折积”条目所述，折积这个名称早在1934年就出现在Budapest出生的Aurel Friedrich Wintner(1903-1958）撰写的一篇关于Bernoulli分布的解析折积的论文中。他与人合著了另一篇关于分布函数和Riemann ζ函数的论文(发表于1935年)，其中再次提到了折积的概念。其中，有一个关于CCO和Fourier变换之间关系的有趣事实：

“The proper method in dealing with distribution functions and their convolutions ( “Faltungen” ) is the method of Fourier transforms, first applied systematically by [Paul Pierre] Levy in his book on the calculus of probability.”( 处理分布函数及其折积(“叠积”)的正确方法是 Fourier变换法，该方法最早由 [Paul Pierre] Levy 在其关于概率论的书中系统地应用。)

所引用的法国数学家Paul Pierre Lévy(1886-1971) 所著的书籍是《概率计算》(Calcul des Probabilités)，出版于 1925 年。

1937年，Doetsch认为“折积(convolution)”这个名称是德语术语foldung最恰当的翻译[1, 第157页]。Gardner和Barnes在1942年左右也在他们的著作中使用了这个名称，来指代公式(3)给出类型的积分，如下面引用的文字[2, 第228页]所示：

“The process expressed by the integral will be called convolution in the real domain, or real convolution, and the functions […] will be said to be convolved.”(用积分表达的过程将被称为实数域中的折积，或实数折积，而函数[...]将被称为折积。)

CCO 图形解释中的折叠过程与德语单词 faltung 的英语翻译相符，该词确实是“折叠(folding)”。此外，它也与牛津英语词典的定义相符。根据牛津英语词典的定义，“convolution”一词与折叠动作接近，而根据其词源，它与前面提到的“卷在一起(rolling up together)”的动作相关。

如今，“convolution”这个名称在文献中已变得十分常见。然而，也有一些不那么出名的名称与它联系在一起。例如，Ralph Beebe Blackman(1904-1990)和 John Wilder(1915-2000)在1958年发表于《Bell系统技术期刊》(The Bell System Technical Journal)第XXXVII卷的一篇论文中，以及一年后他们从通信工程的角度探讨功率谱测量的著作中，Tuckey指出：

“Convolution is often called by a variety of names such as Superposition theorem, Faltungsintegral, Green’s theorem, Duhamel’s theorem, Borel’s theorem, and Boltzmann-Hopkinson theorem.”(折积通常有各种各样的名称，例如叠加定理、折积积分、Green定理、Duhamel定理、Borel定理和Boltzmann-Hopkinson。)

但Blackman和Tuckey并未引用这段引文。这或许是澳大利亚电气工程师Ronald Newbold Bracewell(1921-2007）在其关于Fourier变换及其应用的著作中引用的类似段落的来源。

“(加权(weighed))运行平均值(running mean)”、“平滑(smooth)”、“模糊(blurring)”、“扫描(scanning)”和“涂抹(smearing)”这些名称来自 CCO 的统计和分析特性，这里不再讨论。

5. **星号(*)的诞生：连续折积之符号**(A Star is Born: Notations for the CCO)

Volterra在他1910年发表的论文中首次提出了关于CCO的符号。他将第一类两个有限连续函数 $F_{1}(x,y)$ 和 $F_{2}(x,y)$ 的复合函数(合函数)表示为 $F_{1}F_{2}(x,y)$ 。他还提到，如果与这两个函数的乘积不混淆，更简单的号是 $F_{1}F_{2}$ 。

在同一篇论文中，他引入了函数上的双星来表示第二类复合，如 (8) 所定义。即

(8) $\displaystyle \int_{0}^{1}F_{1} (x,\zeta)F_{2} (\zeta,y)d\zeta=\overset{\mathsf{..}}{F_{1} }\overset{\mathsf{..}}{F_{2} }$ 。

当然，对于第二种类型的组合也使用相同的符号，其由 (7) 定义。

在1912年，Volterra在Sorbonne大学发表的关于线性函数(line functions)的讲座(该讲座于一年后出版)中，用函数上的单星号表示第一类函数的复合： ${F_{1}}^{*}{F_{2}}^{*}(x,y)$ 或 ${F_{1}}^{*}{F_{2}}^{*}$ 。他进一步发展了这种符号，并表示如果 $F_{1} = F_{2} = F$ ，则 ${F_{1}}^{*}{F_{2}}^{*} =F^{*}F^{*}= {F^{*}}^{2}$ 。

Volterra似乎对单星符号并不满意，同年，当他在普林斯顿大学发表一系列有关可置换函数理论的讲座(发表于 1915 年)时，他添加了第三个符号：方括号符号 [f, Φ]。

然而，并非所有作者都遵循Volterra使用的星号或括号符号。事实上，智利出生的英国数学家Percy John Daniell(1889-1946)在1920年于法国Strasbourg举行的国际数学大会上，就 Stieltjes-Volterra 乘积问题发表了一篇论文，文中使用了“点符号”

$\alpha{.}\beta(s) = \int_{-0}^{s+0}\beta(s-t)d{\alpha}(t)$

或

$\alpha{.}\beta(s) = \int_{-\infty}^{+\infty}\beta(s-t)d{\alpha}(t)$ 。

多年来，一种特殊的单星符号和点符号的组合开始出现。这种符号就是今天文献中使用的符号，即 $F_{1} * F_{2} (t)$ 。该符号首次出现在前述 Doetsch 1923 年关于折叠型积分微分方程的论文中。

Volterra 于 1912 年定义的单星符号保留了下来，但根据 Daniell 于 1920 年定义的点符号的建议，对位置进行了一些修改，从而定义

(8) $\displaystyle f(x)g(x) = \int_{I }f (\alpha)g(x-\alpha)d\alpha$ 。

请注意，这种符号简洁明了，一目了然，书写快捷。然而，一个问题出现了：为什么Volterra的单星符号没有流传下来呢？这个问题没有简单的答案；不过，可以说，由于CCO是二元运算(例如加法和乘法)，因此表示它的符号应该位于中缀位置(例如符号“+”和“×”)。这似乎是最好的选择。

6. 连续折积的主要定理和计算(Main Theorems and Computation of the CCO)

给定一个二元运算，我们很自然地会问它的存在性和交换律。为了回答这些问题，请注意 (4) 和 (5) 给出的 CCO 是 (6) 的特殊情况。事实上，如果其中一个输入函数定义在有限区间 (a,b) 上，则可得到 (4)。类似地，如果两个函数都在正实线上定义，则可由 (6) 得到 (5)。考虑到这一点，(6) 存在的条件是什么？奥匈帝国数学家Salomon Bochner(1899–1982) 在其 1932 年出版的德文版《Fourier积分讲座》(Lectures on Fourier Integrals)第 54–56 页中建立了第一个充分存在条件，从而给出了这个问题的答案。令人惊讶的是，这个条件表明，对于 (6) 的存在，只要输入函数在整个实线上绝对可积就足够了。这个条件对于确定交换律的有效性非常重要。事实上，如果至少有一个进入的函数不是在整个实数轴上绝对可积，那么交换律就不成立。1990年[11]，在Bochner出版这本书近60年后，科学界提出了几个反例！

在另一方面，与CCO相关的另一个重要定理是所谓的折积定理。通常，该定理确定CCO (5) 的Laplace变换是每个输入函数的Laplace变换的乘积。当积分变换为Fourier变换时，(6) 也成立类似的结果。在这两种情况下，很难确定这两个定理的首次出现时间。然而，可以说 (5) 的卷积定理出现在1899年Borel关于发散级数的回忆录中。对于 (6) 的情况，卷积定理出现在1920年Daniell关于Stieltjes-Volterra积的会议上。在这次会议上，Daniell定义了实数轴上任意两个测度的折积，然后应用双边Laplace变换得到相应的折积定理。由此，他推导出Fourier变换的结果。折积定理的重要性在于它们可以间接计算相应的CCO。事实上，CCO 等于每个输入函数的积分变换(Laplace变换或Fourier变换)乘积的逆积分变换(Laplace变换或Fourier变换)。这一事实简化了计算，因为当其中一个函数为零且在自变量的不同区间上不连续时，直接计算 CCO 尤其困难。因此，问题在于寻找与积分相关的适当极限和被积函数。(译注：上述对公式的引用可能不准确，原文有几个公式缺失，序号直接跳变了。)

David E. Cartier 在 1975 年发表的一篇名为《魔镜魔镜……卷积其实一点也不难》(Mirror, Mirror on the Wall…Convolution Isn’t Hard at All)的论文中定义了一种解决这个问题的方法。论文的副标题展现了这种方法的本质：“图解法只适用于简单函数，分段线性方法则适用于所有函数。” 其基本思想是利用定义 f 和 g(它们是分段连续的)的表达式创建一个 (α, x) 图，该图一目了然地包含了执行卷积所需的所有信息。该方法的精确定义很长，但实现起来却很简单，因为它生成的图很简单，只包含直线，从中可以确定积分范围和适当的被积函数。

Zhang Zuhao在 1990 年发表于 IEEE 教育学报的《折积积分的方阵法则》(The Square Matrix Rule of the Convolution Integral)中定义了另一种寻找 CCO 极限的方法。

除了这两种方法之外，还有图解法，其起源于[2, 第232页]中给出的图解解释，如本文开头所述。Jack D. Gaskill 在他那本关于线性系统、Fourier变换和光学的精彩著作[12]中对这种方法进行了简单的描述。

7. 关于连续折积的书籍(Books About the CCO)

• 从经典数学分析的角度探讨 CCO 理论基础的书籍：[10], [13]–[17]。

• 关于用 Mikusin´ski 发展的运算微积分理论处理 CCO 的书籍：[18]–[23]。

• 关于 CCO 在微分方程、积分变换和函数形状中的应用的书籍：[10], [24] 和 [25]。

• 关于 CCO 在物理和工程中的应用的书籍：[16], [26]–[29]。

• 关于 CCO 在函数逼近中的应用的书籍：[30]–[34]。

8. 后记：卷积的隐藏故事(Final Words: The Hidden Story of Convolution)

在前述Cartier的论文中，他指出“[CCO] 会让普通工程师心生恐惧”。我希望这篇论文能让用户足够熟悉CCO，从而减轻其引发的恐惧，或者至少让他们不至于陷入神秘主义的泥沼。总而言之，CCO的历史始于18世纪60年代，但直到19世纪末才正式命名。20世纪初，它获得了一个通用的名称和符号，用来表示折叠、平移、乘法和积分的效果。

自从Euler以更通用的形式构思出CCO以来，它的理论就一直与微分方程理论联系在一起，并在19世纪和20世纪与积分方程理论联系在一起。此外，随着CCO的使用和发展，积分变换理论也得到了发展，这一理论在应用数学和工程领域也被证明非常有用。这两个理论几乎同时诞生，堪称孪生兄弟。事实上，正如Isidore Isaac Hirschman(1992-1990)和David Vernon Widder(1898-1990)在其著作中所阐述的那样，CCO理论经过一些变量替换后，可以转化为积分变换公式[10]。

正如孪生理论发展过程中有时会出现的情况一样，其中一个理论相对于另一个理论占据主导地位。实际情况是：自从CCO理论被积分变换理论所掩盖以来，积分变换理论就一直是主导理论。这一事实可以通过两个主要事件清楚地观察到：

• 特定 CCO 理论通常被描述为积分变换理论的一部分。

• 与积分变换理论相关的书籍数量相比，CCO 理论的书籍数量较少。

尽管如此，CCO 也有它自己的历史，现在是时候让应用数学和工程界了解它了。它的历史才刚刚开始。

9. 参考文献(Final Words: The Hidden Story of Convolution)

G. Doetsch, Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation. New York: Dover, 1943.
M. F. Gardner and J. L. Barnes, Transients in Linear Systems: Lumped-Constant Systems, 16th ed., vol. I. New York: Wiley, 1963.
N. Bourbaki, Eléments d’Histoire des Mathématiques, 2ed. Paris, France: Hermann Editeurs des Sciences et des Arts, 1969.
J. A. Domínguez-Torres. (2014, Apr. 19). The origin and history of convolution I: continuous and discrete convolution operations. [Online]. Available: http://www.slideshare.net/Alexdfar/origin-adn-history-of-convolution
J. Miller. (2011, Mar. 13). Earliest known uses of some of the words of mathematics. [Online]. Available: Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
L. Euleri, Institutionum Calculi Integralis, vol. 2. Petropoli: Impensis Academiae Imperialis Scientiarum, 1768.
L. Evlero, “Constrvctio aeqvationis differntio-differentialis Aydu+(B+Eu+Fuu)ddy)=0 fumto elemento du conftante,” Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae, vol. 8, pp. 150–156, 1763.
H. K. Burkhardt, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (Vols. Zehnter Band, Zweites Heft). Leipzig, Deutschland: Teubner, 1908.
J. B. Fourier, Théorie Analytique de la Chaleur. Oeuvres de Fourier, vol. I. Paris, France: Gauthier-Villards et Fills, 1888.
I. I. Hirschman and D. V. Widder, The Convolution Transform. New York: Dover, 2005.
E. B. Hall and G. L. Wise, “An algebraic aspect of linear system theory,” IEEE Trans. Circuit Syst., vol. 37, no. 5, pp. 651–653, 1990.
J. D. Gaskill, Linear Systems, Fourier Transforms and Optics. New York, USA: Wiley, 1978.
H. Bergström, Limit Theorems for Convolutions. Stockholm, Sweden: Almqvist & Wiksell, 1963.
I. H. Dimovski, Convolutional Calculus, 2nd ed. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer, 1990.
W. Kecs, The Convolution Product and Some Applications. Bucharest, Romania: Editura Academiei and D. Reidel, 1982.
R. Maurice, Convolution and Fourier Transforms for Communications Engineers. London, U.K.: Pentech Press, 1976.
H. M. Srivastava and R. G. Buschman, Theory and Applications of Convolution Integral Equations. Dordrecht, The Netherlands: Springer Science+Business Media, 1992.
L. Berg, Operatorenrechnung. Band I: Algebraische Methoden. Berlin, Deutschland: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1972.
L. Berg, Operatorenrechnung. Band II: Funktionentheoretische Methoden. Berlin, Deutschland: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1974.
I. H. Dimovski, Convolutional Calculus, 2nd ed. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer, 1990.
V. Ditkine and A. Proudnikov, Calcul Opérationel. Moscou, Sovetskij Soyuz: Mir, 1979.
H.-J. Glaeske, A. P. Prudnikov, and K. A. Skòrnik, Operational Calculus and Related Topics. Boca Raton, FL: Chapman & Hall, 2006.
J. G. Mikusin´ski, Rachunek Operatorów. Warsaw, Poland: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1953.
J. A. Domínguez-Torres, “Fourier-based methods in CAD,” Ph.D. dissertation, Cranfield Institute of Technology, Applied Mathematics and Computing Group. Cranfield, U.K.: Cranfield Institute of Technology, 1992.
W. Kecs, The Convolution Product and Some Applications. Bucharest, Romania: Editura Academiei and D. Reidel Publishing Company, 1982.
A. Girard, L’Inversion du Produit de Convolution en Physique (mise au point bibliographique). Chatillon: Office National d’Études et de Recherches Aérospatiales, 1967.
P. A. Jansson, Ed. Deconvolution of Images and Spectra, 2nd ed. New York: Dover, 2012.
R. C. Jenninson, Fourier Transforms and Convolution for the Experimentalist. Oxford, U.K.: Pergamon Press, 1961.
M. Tournarie, “L’inversion du produit de convolution en physique,” Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l’Académie des Sciences, vol. CCXLI, pp. 1923–1925, 1955.
P. L. Butzer and R. J. Nessel, Fourier Analysis and Approximation, vol. 1. New York: Academic, 1971.
U. Dini, Serie di Fourier e altre Rappresentazioni Analitiche delle Funzioni di una Variable Reale. Pisa, Italia: Tipografia T. Nistri e C, 1880.
E. W. Hobson, The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier’s Series, 2nd ed., vol. II. Cambridge, U.K.: Cambridge Univ. Press, 1926.
H. S. Shapiro, Smoothing and Approximation of Functions. New York: Van Nostrand Reinhold, 1969.
R. M. Trigub and E. S. Belinsky, Fourier Analysis and Approximation of Functions. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer, 2004.